下册 9.2 第二型曲线积分 第48题
📝 题目
48．计算下列曲线积分，其中 $L$ 为平面 $x+y+z=a$ 与三坐标平面的交线，其方向为从 $(1,1,1)$看，曲线是逆时针方向．
（1）$\oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y .(a=1$ ：电子科技 2002，南昌大学 2008，南京师大 2007，南京财经 2012）
（2）$\oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z+2 y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y$ 。$(a=1)$
（3）$\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x-(x-z) \mathrm{d} y+(y-x) \mathrm{d} z$ ．
（4）$\oint_{L}(2 z-3 y) \mathrm{d} x+(x-2 z) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ．$(a=2)$
（5）$\oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z$ 。（a＝1）
（6）$\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z .(a=1$ ：电子科技 2009／2007／2013，东南大学 2005，辽宁大学 2005）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.89 所示，记平面 $x+y+z=a$ 与 $L$ 所围成的平面的部分为 $S . S$ 的面积为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2} . S$ 的单位法向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ，即 $\displaystyle \cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．
利用斯托克斯公式 $\displaystyle \oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S}\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right| \mathrm{d} S$ 得：
（1）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y=\frac{6}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=2 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=3 a^{2}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-305.jpg?height=1513&width=1092&top_left_y=5636&top_left_x=4496}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.89}
\end{figure}
（2）$\displaystyle \oint_{L}(y-x) \mathrm{d} z+(z+2 y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y=\frac{3}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=\frac{3}{2} a^{2}$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x-(x-z) \mathrm{d} y+(y-x) \mathrm{d} z=\frac{2}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=a^{2}$ ．
（4）$\displaystyle \oint_{L}(2 z-3 y) \mathrm{d} x+(x-2 z) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z=\frac{8}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=\frac{8}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=4 a^{2}$ ．
（5）$\displaystyle \oint_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z=\frac{4}{\sqrt{3}} \iint_{S}(2 y-2 z-2 x+2 z+2 x-2 y) \mathrm{d} S=0$ ．
（6）$\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$
$$
=-\frac{4}{\sqrt{3}} \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=-\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot a \iint_{S} \mathrm{~d} S=-\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=-2 a^{3} .
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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