下册 9.2 第二型曲线积分 第49题
📝 题目
49．求下列曲线积分．
（1）$\oint_{L}\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z\end{array}\right|$ ，其中 $L$ 是平面 $x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所围区域的面积为 $A, L$ 依正向进行．
（2）$I=\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为立方体 $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$和平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，站在第一象限 $\displaystyle x+y+z>\frac{3}{2}$ 处看 $\Gamma$ 为逆时针方向．
（3）$\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为平面 $x+y+z=2$ 和柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $r=\sqrt{\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma}$ ．平 面 $x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 的单位法向量为 $\displaystyle \frac{1}{r}(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ．平面与 $L$ 所围成的区域记为 $S$ ，其面积为 $A$ ．由斯托克斯公式得
$$
\begin{aligned}
\oint_{L}\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} x & \mathrm{~d} y & \mathrm{~d} z \\
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
x & y & z
\end{array}\right| & =\oint_{L}(z \cos \beta-y \cos \gamma) \mathrm{d} x-(z \cos \alpha-x \cos \gamma) \mathrm{d} y+(y \cos \alpha-x \cos \beta) \mathrm{d} z \\
& =\frac{1}{r} \iint_{S}\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z \cos \beta-y \cos \gamma & x \cos \gamma-z \cos \alpha & y \cos \alpha-x \cos \beta
\end{array}\right| \mathrm{d} S \\
& =\frac{1}{r} \iint_{S}\left(2 \cos ^{2} \alpha+2 \cos ^{2} \beta+2 \cos ^{2} \gamma\right) \mathrm{d} S=2 r \iint_{S} \mathrm{~d} S=2 r A .
\end{aligned}
$$
（2）如图 9.90 所示，平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 位于立方体内的部分为 $S$ ，它在 $O x y$ 平面上的射影为 $D_{x y}$ ，面积为 $\displaystyle \frac{3}{4} a^{2}$ ．取平面的上侧，单位法向量为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ．由斯托克斯公式得
$$
\begin{aligned}
I & =\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z \\
& =-4 \iint_{S}(x+y+z) \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{~d} S=-6 a \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{~d} S=-6 a \iint_{D_{n}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-6 a \cdot \frac{3}{4} a^{2}=-\frac{9}{2} a^{3} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-307.jpg?height=1673&width=1790&top_left_y=1298&top_left_x=884}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{－图 9.90}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-307.jpg?height=2060&width=1562&top_left_y=911&top_left_x=3653}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.91}
\end{figure}
（3）如图 9.91 所示，设 $S$ 是 $L$ 所围的平面 $x+y+z=2$ 的部分，方向由右手法则确定（即取上侧）．设 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域为 $D_{x y}=\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\}$ ，则
$$
\iint_{D_{v y}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{v y}} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
由斯托克斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z \\
& =-2 \iint_{S}(y+2 z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+3 x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\frac{2}{\sqrt{3}} \iint_{S}(4 x+2 y+3 z) \mathrm{d} S \\
& =-\frac{2}{\sqrt{3}} \iint_{S}(x-y+6) \mathrm{d} S=-2 \iint_{D_{\mathrm{xy}}}(x-y+6) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-12 \iint_{D_{\mathrm{vy}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-24
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将行列式展开为标量形式
将行列式按第一行展开，得到：
$$\oint_L \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}x & \mathrm{d}y & \mathrm{d}z \\ \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ x & y & z\end{array}\right| = \oint_L (z\cos\beta - y\cos\gamma)\mathrm{d}x - (z\cos\alpha - x\cos\gamma)\mathrm{d}y + (y\cos\alpha - x\cos\beta)\mathrm{d}z$$
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：第二项为负号，因为展开时按第一行，第二列代数余子式带负号。
步骤 2/4
目标：应用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分
设平面 $x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma = 5$ 的单位法向量为 $\mathbf{n} = \frac{1}{r}(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，其中 $r = \sqrt{\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma}$。由斯托克斯公式：
$$\oint_L \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S$$
这里 $\mathbf{F} = (z\cos\beta - y\cos\gamma, x\cos\gamma - z\cos\alpha, y\cos\alpha - x\cos\beta)$。计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = (2\cos\alpha, 2\cos\beta, 2\cos\gamma)$$
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S$
提示：旋度计算要仔细，注意偏导顺序。
步骤 3/4
目标：计算曲面积分
将旋度与单位法向量点乘：
$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = (2\cos\alpha, 2\cos\beta, 2\cos\gamma) \cdot \frac{1}{r}(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \frac{2}{r}(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma) = 2r$$
因此曲面积分为：
$$\iint_S 2r \, \mathrm{d}S = 2r \iint_S \mathrm{d}S = 2rA$$
公式：点积公式
提示：注意 $r$ 是常数，$\iint_S \mathrm{d}S = A$。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
所以原曲线积分的值为 $2rA$。
提示：最终结果不含积分号。
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