下册 9.2 第二型曲线积分 第50题
📝 题目
50．计算下列曲线积分，其中 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴的正方向看去 $L$ 为逆时针方向。
（1）$\oint_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 。
（2）$\oint_{L}(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$ ．
（3）$\oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ．$(a=1)$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.92 所示，取 $S$ 为平面 $x+y+z=0$ 被 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 所围成的部分的上侧．$S$ 的面积为 $\pi a^{2} . S$ 的单位法向量为 $\displaystyle n=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ．由斯托克斯公式得：
（1）$\displaystyle \oint_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z=\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S}(-1-1-1) \mathrm{d} S=-\frac{3}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
（2）$\oint_{L}(y+1) \mathrm{d} x+(z+2) \mathrm{d} y+(x+3) \mathrm{d} z$
$$
=\iint_{S}-\mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\mathrm{d} z \mathrm{~d} x-\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-3 \iint_{S} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-3 \pi a^{2} \frac{1}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3} \pi a^{2} .
$$
（3）$\displaystyle \oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=-\frac{6}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=-2 \sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-308.jpg?height=1224&width=1362&top_left_y=842&top_left_x=4033}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．92}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲面和方向
取 $S$ 为平面 $x+y+z=0$ 被球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 所截的部分，取上侧（法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角）。$S$ 是一个半径为 $a$ 的圆盘，面积为 $\pi a^2$。$S$ 的单位法向量为 $\boldsymbol{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。
提示：注意曲面方向与曲线方向符合右手法则：从 $x$ 轴正向看曲线为逆时针，对应曲面上侧。
步骤 2/5
目标：应用斯托克斯公式（1）
对于积分 $\oint_L y\,dx+z\,dy+x\,dz$，由斯托克斯公式：
$$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \boldsymbol{n}\,dS$$
其中 $\mathbf{F}=(y,z,x)$，计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y & z & x \end{vmatrix} = (-1,-1,-1)$$
所以
$$\oint_L y\,dx+z\,dy+x\,dz = \iint_S (-1,-1,-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\,dS = -\frac{3}{\sqrt{3}} \iint_S dS = -\sqrt{3}\pi a^2$$
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \boldsymbol{n}\,dS$
提示：旋度计算要仔细，注意符号。
步骤 3/5
目标：应用斯托克斯公式（2）
对于积分 $\oint_L (y+1)dx+(z+2)dy+(x+3)dz$，令 $\mathbf{F}=(y+1,z+2,x+3)$，旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y+1 & z+2 & x+3 \end{vmatrix} = (-1,-1,-1)$$
与（1）相同，因此结果相同：
$$\oint_L = \iint_S (-1,-1,-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\,dS = -\sqrt{3}\pi a^2$$
提示：常数项不影响旋度，注意旋度计算时偏导数为0。
步骤 4/5
目标：应用斯托克斯公式（3）
对于积分 $\oint_L (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz$，令 $\mathbf{F}=(y-z,z-x,x-y)$，计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y-z & z-x & x-y \end{vmatrix} = (2,2,2)$$
所以
$$\oint_L = \iint_S (2,2,2)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\,dS = \frac{6}{\sqrt{3}} \iint_S dS = 2\sqrt{3}\pi a^2$$
注意：题目中 $a=1$，但答案中仍用 $a$ 表示。
提示：旋度计算时注意每个分量的偏导顺序。
步骤 5/5
目标：总结结果
三个积分的结果分别为：
(1) $-\sqrt{3}\pi a^2$
(2) $-\sqrt{3}\pi a^2$
(3) $2\sqrt{3}\pi a^2$
注意（3）中 $a=1$ 时结果为 $2\sqrt{3}\pi$。
提示：检查符号：旋度与法向量点积的正负。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。