下册 9.2 第二型曲线积分 第51题
📝 题目
51．试计算 $\int_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与球面 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$ 的交线，从 $z$ 轴的正面看上去取逆时针方向。北京大学 2009）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与球面 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$ 的交线等价于圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$与 $x+y+z=0$ 的交线（见图 9．92）．设 $S$ 是 $L$ 所围的平面的部分，$S$ 的面积为 $\pi a^{2}, S$ 的单位法向量为 $\displaystyle \boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ．由斯托克斯公式得
$$
\int_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=\iint_{S}(-2 \sqrt{3}) \mathrm{d} S=-2 \sqrt{3} \iint_{S} \mathrm{~d} S=-2 \sqrt{3} \pi .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简交线方程
两球面方程：$x^2+y^2+z^2=1$ 和 $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4$。展开第二个方程：$x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1=4$，即 $x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3=4$。代入第一个方程得 $1-2(x+y+z)+3=4$，化简得 $x+y+z=0$。因此交线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，即半径为 $1$ 的圆。
提示：注意展开第二个球面方程时不要遗漏常数项。
步骤 2/6
目标：确定平面区域及法向量
交线 $L$ 位于平面 $x+y+z=0$ 上，$L$ 所围的平面区域记为 $S$，$S$ 是半径为 $1$ 的圆盘。平面 $x+y+z=0$ 的单位法向量为 $\boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。
提示：法向量方向需与曲线方向符合右手定则，这里取指向原点一侧。
步骤 3/6
目标：应用斯托克斯公式
斯托克斯公式：$\oint_L \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \iint_S (\nabla \times \boldsymbol{F})\cdot \boldsymbol{n} \, dS$。其中 $\boldsymbol{F}=(y-z, z-x, x-y)$。计算旋度：$\nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y-z & z-x & x-y \end{vmatrix} = (-2, -2, -2)$。
公式：$\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$
提示：计算旋度时注意符号，偏导顺序不要弄错。
步骤 4/6
目标：计算旋度与法向量的点积
旋度 $\nabla \times \boldsymbol{F} = (-2,-2,-2)$，单位法向量 $\boldsymbol{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$，点积：$(\nabla \times \boldsymbol{F})\cdot \boldsymbol{n} = (-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} + (-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} + (-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}$。
提示：点积结果是一个常数，便于后续积分。
步骤 5/6
目标：计算曲面积分
由斯托克斯公式，原曲线积分等于 $\iint_S (\nabla \times \boldsymbol{F})\cdot \boldsymbol{n} \, dS = \iint_S (-2\sqrt{3}) \, dS = -2\sqrt{3} \iint_S dS$。$S$ 是半径为 $1$ 的圆盘，面积 $\iint_S dS = \pi \cdot 1^2 = \pi$。因此积分值为 $-2\sqrt{3}\pi$。
公式：$\iint_S dS = \pi a^2$，其中 $a=1$
提示：注意圆盘半径是1，不是2。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原曲线积分的值为 $-2\sqrt{3}\pi$。
提示：结果与答案一致，注意符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。