下册 9.2 第二型曲线积分 第52题

\section*{解题过程：} 如图 9.93 所示，设 $S$ 是 $L$ 所围的平面 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{z}{h}=1$ 的部分，方向由右手法则确定（即取上侧）．$S$的单位法向量为 $\displaystyle n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}(h, 0, a)$ ，面积为 $\displaystyle \frac{\sigma_{x y}}{\cos \gamma}=\pi a \sqrt{a^{2}+h^{2}}$ ，其中 $\sigma_{x y}$ 为 $S$ 在 $x y$ 平面的投影． （1）记 $I=\oint_{L}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ 。 方法1：由 Stokes 公式得 $$ \begin{aligned} I & =-\frac{2}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \iint_{S}(a+h) \mathrm{d} S=-\frac{2(a+h)}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \iint_{S} \mathrm{~d} S \\ & =-\frac{2(a+h)}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \pi a \sqrt{a^{2}+h^{2}}=-2 \pi a(a+h) \end{aligned} $$ \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-308.jpg?height=1334&width=1237&top_left_y=5940&top_left_x=4158} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图 9.93} \end{figure} 方法 2：$L$ 的参数方程为 $x=a \cos \theta, y=a \sin \theta, z=h(1-\cos \theta), 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ，则 $$ \begin{aligned} I & =\int_{0}^{2 \pi}\{-a[a \sin \theta-h(1-\cos \theta)] \sin \theta+a[h(1-\cos \theta)-a \cos \theta] \cos \theta+a h(\cos \theta-\sin \theta) \sin \theta\} \mathrm{d} \theta \\ & =-2 \pi a(h+a) \end{aligned} $$ （2）由 Stokes 公式得 $$ \begin{aligned} \oint_{L}(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z & =-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \iint_{S}(a+2 h) \mathrm{d} S=-\frac{a+2 h}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \iint_{S} \mathrm{~d} S \\ & =-\frac{a+2 h}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \pi a \sqrt{a^{2}+h^{2}}=-2 \pi a(a+2 h) . \end{aligned} $$