下册 9.2 第二型曲线积分 第55题
📝 题目
55．计算下列曲线积分．
（1） $\int_{L}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为从点 $A(1,0,0)$ 到点 $B(1,0,2)$ 的任一条光滑曲线．
（2）$\oint_{A M B}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $A M B$ 为从点 $A(a, 0,0)$ 到点 $B(a, 0, h)$ 沿着 $\displaystyle x=a \cos \varphi, y=a \sin \phi, z=\frac{h}{2 \pi} \varphi$ 所取的．
（3） $\int_{L} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 为曲线 $x=\cos 2008 \pi t, y=\cos 2008 \pi t, z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1}, t \in[0,1]$ ，从点（ $1,1,0$ ）到点（ $1,1,1$ ）的部分。
💡 答案解析
解题过程：
（1） $\int_{L^{+}}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$
$$
=\int_{L^{\prime}} \mathrm{d}\left(\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{3} z^{3}-x y z\right)=\left.\left(\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{3} z^{3}-x y z\right)\right|_{(1.0 .0)} ^{(1.0,2)}=\frac{8}{3} .
$$
（2）方法 1：
$$
\oint_{A M B}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z=\left.\left(\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{3} z^{3}-x y z\right)\right|_{(a, 0,0)} ^{(a, 0, h)}=\frac{1}{3} h^{3} .
$$
方法 2：设 $L_{1}: x=a, y=0, z=t,(t: 0 \rightarrow h)$ 。由 Stokes 公式得
于是
$$
\int_{L+\left(-L_{1}\right)}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z=0 .
$$
$$
\int_{L}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z=\int_{0}^{h} z^{2} \mathrm{~d} z=\frac{1}{3} h^{3} .
$$
（3） $\int_{L} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+\dot{x} y \mathrm{~d} z=\left.(x y z)\right|_{(1,1,0)} ^{(1,1,1)}=1$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断曲线积分与路径无关性
对于第一型曲线积分，若被积表达式是某个函数的全微分，则积分与路径无关。检查是否存在函数 $F(x,y,z)$ 使得 $\mathrm{d}F = (x^2 - yz)\mathrm{d}x + (y^2 - xz)\mathrm{d}y + (z^2 - xy)\mathrm{d}z$。通过观察或计算旋度为零，可知积分与路径无关。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$, $\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}$, $\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z}$
提示：注意验证偏导数相等，确保积分与路径无关。
步骤 2/6
目标：求原函数
设 $F(x,y,z) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{3}z^3 - xyz$，则 $\mathrm{d}F = (x^2 - yz)\mathrm{d}x + (y^2 - xz)\mathrm{d}y + (z^2 - xy)\mathrm{d}z$。
公式：$\mathrm{d}F = \frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial F}{\partial z}\mathrm{d}z$
提示：可以通过积分法或观察法得到原函数，注意常数项可忽略。
步骤 3/6
目标：计算第一问的积分值
由于积分与路径无关，取从 $A(1,0,0)$ 到 $B(1,0,2)$ 的任意路径，积分值等于原函数在终点的值减去起点的值：$F(1,0,2) - F(1,0,0) = \left(\frac{1}{3}\cdot1^3 + \frac{1}{3}\cdot0^3 + \frac{1}{3}\cdot2^3 - 1\cdot0\cdot2\right) - \left(\frac{1}{3}\cdot1^3 + \frac{1}{3}\cdot0^3 + \frac{1}{3}\cdot0^3 - 1\cdot0\cdot0\right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$。
公式：$\int_L \mathrm{d}F = F(B) - F(A)$
提示：代入时注意坐标值，不要遗漏项。
步骤 4/6
目标：计算第二问的积分值（方法一）
第二问的曲线 $AMB$ 是从 $A(a,0,0)$ 到 $B(a,0,h)$ 的螺旋线，但被积表达式与第一问相同，且积分与路径无关，因此积分值等于原函数在终点的值减去起点的值：$F(a,0,h) - F(a,0,0) = \left(\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{3}\cdot0^3 + \frac{1}{3}h^3 - a\cdot0\cdot h\right) - \left(\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{3}\cdot0^3 + \frac{1}{3}\cdot0^3 - a\cdot0\cdot0\right) = \frac{1}{3}h^3$。
公式：同第一问
提示：注意起点和终点的坐标，$x=a$ 不变，$y=0$ 不变，只有 $z$ 从 $0$ 到 $h$。
步骤 5/6
目标：计算第二问的积分值（方法二：Stokes公式）
考虑添加直线段 $L_1: x=a, y=0, z=t$，$t$ 从 $h$ 到 $0$（方向与 $AMB$ 相反），则 $AMB + L_1$ 构成封闭曲线。由Stokes公式，曲面积分等于零（因为旋度为零），所以 $\int_{AMB} = \int_{-L_1}$。而 $\int_{-L_1} = -\int_{L_1}$，$L_1$ 上 $\mathrm{d}x=0, \mathrm{d}y=0$，被积函数化为 $z^2\mathrm{d}z$，积分 $\int_0^h z^2\mathrm{d}z = \frac{1}{3}h^3$，因此 $\int_{AMB} = \frac{1}{3}h^3$。
公式：Stokes公式：$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$
提示：注意添加的直线段方向要与原曲线构成封闭曲线，且方向要一致。
步骤 6/6
目标：计算第三问的积分值
第三问的被积表达式为 $yz\mathrm{d}x + zx\mathrm{d}y + xy\mathrm{d}z$，它是函数 $G(x,y,z)=xyz$ 的全微分，因为 $\mathrm{d}(xyz) = yz\mathrm{d}x + xz\mathrm{d}y + xy\mathrm{d}z$。曲线 $L$ 从 $(1,1,0)$ 到 $(1,1,1)$，积分与路径无关，故积分值等于 $G(1,1,1)-G(1,1,0)=1\cdot1\cdot1 - 1\cdot1\cdot0 = 1$。
公式：$\mathrm{d}(xyz) = yz\mathrm{d}x + xz\mathrm{d}y + xy\mathrm{d}z$
提示：注意起点和终点的坐标，$x=1, y=1$ 不变，$z$ 从 $0$ 到 $1$。
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