下册 9.2 第二型曲线积分 第56题
📝 题目
56．计算 $\int_{c}(y+z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ ，其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的椭圆 $x=a \sin ^{2} t, y=2 a \sin t \cos t, z=a \cos ^{2} t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ 。
💡 答案解析
解题过程：
$$
\begin{aligned}
& \int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z \\
& =\int_{0}^{2 \pi}\left[\left(a \cos ^{2} t+2 a \sin t \cos t\right) 2 a \sin t \cos t+\left(a \cos ^{2} t-2 a \sin t \cos t\right) 2 a\left(\cos ^{2} t-\sin ^{2} t\right)\right. \\
& \left.+\left(a \sin ^{2} t+2 a \sin t \cos t\right)(-2 a \sin t \cos t)\right] \mathrm{d} t \\
& =2 a^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(\sin t \cos ^{3} t+2 \sin ^{2} t \cos ^{2} t+\cos ^{4} t-\cos ^{2} t \sin ^{2} t-2 \sin t \cos ^{2} t\right. \\
& \left.+2 \sin ^{3} t \cos t-\cos t \sin ^{3} t-2 \cos ^{2} t \sin ^{2} t\right) \mathrm{d} t \\
& =2 a^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(\cos ^{4} t-\cos ^{2} t \sin ^{2} t\right) \mathrm{d} t=2 a^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left[\left(\frac{1+\cos 2 t}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} \sin ^{2} 2 t\right] \mathrm{d} t \\
& =2 a^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left[\frac{1}{4}\left(1+2 \cos 2 t+\cos ^{2} 2 t\right)-\frac{1}{4} \frac{1-\cos 4 t}{2}\right] \mathrm{d} t=2 a^{2} 2 \pi\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=\frac{20}{8} \pi a^{2} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：参数化曲线并代入积分
将曲线参数方程代入线积分：
$x = a \sin^2 t$, $y = 2a \sin t \cos t$, $z = a \cos^2 t$，
计算微分：
$dx = 2a \sin t \cos t \, dt$，
$dy = 2a (\cos^2 t - \sin^2 t) \, dt$，
$dz = -2a \sin t \cos t \, dt$。
代入积分：
$\int_C (y+z) dx + (z-x) dy + (x+y) dz$
$= \int_0^{2\pi} \left[ (2a\sin t\cos t + a\cos^2 t) \cdot 2a\sin t\cos t + (a\cos^2 t - a\sin^2 t) \cdot 2a(\cos^2 t - \sin^2 t) + (a\sin^2 t + 2a\sin t\cos t) \cdot (-2a\sin t\cos t) \right] dt$。
公式：线积分的参数化公式：$\int_C Pdx+Qdy+Rdz = \int_a^b (P x' + Q y' + R z') dt$
提示：注意微分$dx, dy, dz$的计算要准确，尤其是$dy$的导数$2a(\cos^2 t - \sin^2 t)$不要漏掉系数。
步骤 2/5
目标：展开并合并被积函数
展开括号并合并同类项：
被积函数 = $2a^2 \left[ (2\sin t\cos t + \cos^2 t) \sin t\cos t + (\cos^2 t - \sin^2 t)^2 - (\sin^2 t + 2\sin t\cos t) \sin t\cos t \right]$
= $2a^2 \left[ 2\sin^2 t\cos^2 t + \sin t\cos^3 t + \cos^4 t - 2\sin^2 t\cos^2 t + \sin^4 t - \sin^3 t\cos t - 2\sin^2 t\cos^2 t \right]$。
提示：注意$(\cos^2 t - \sin^2 t)^2 = \cos^4 t - 2\sin^2 t\cos^2 t + \sin^4 t$，不要展开错误。
步骤 3/5
目标：化简被积函数
合并同类项：
$2a^2 \left[ \sin t\cos^3 t + \cos^4 t + \sin^4 t - \sin^3 t\cos t - 2\sin^2 t\cos^2 t \right]$。
注意：$2\sin^2 t\cos^2 t$项抵消。
进一步化简：利用$\sin^4 t + \cos^4 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 - 2\sin^2 t\cos^2 t = 1 - 2\sin^2 t\cos^2 t$，
代入得：$2a^2 \left[ \sin t\cos^3 t + 1 - 2\sin^2 t\cos^2 t - \sin^3 t\cos t - 2\sin^2 t\cos^2 t \right]$
= $2a^2 \left[ 1 + \sin t\cos^3 t - \sin^3 t\cos t - 4\sin^2 t\cos^2 t \right]$。
公式：$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2\sin^2 t\cos^2 t$
提示：注意合并时不要遗漏项，特别是$\sin^4 t$和$\cos^4 t$的处理。
步骤 4/5
目标：利用对称性简化积分
在$[0, 2\pi]$上，奇函数项积分为零：
$\sin t\cos^3 t$和$\sin^3 t\cos t$都是奇函数（关于$t=\pi$对称？实际上周期函数，但$\int_0^{2\pi} \sin t\cos^3 t dt = 0$，因为$\sin t$的对称性）。
所以只剩下常数项和$\sin^2 t\cos^2 t$项：
$\int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$，
$\int_0^{2\pi} \sin^2 t\cos^2 t \, dt = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \sin^2 2t \, dt = \frac{1}{4} \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$（因为$\int_0^{2\pi} \sin^2 2t dt = \pi$）。
因此积分 = $2a^2 \left[ 2\pi - 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right] = 2a^2 (2\pi - \pi) = 2a^2 \pi$。
公式：$\int_0^{2\pi} \sin^2 2t dt = \pi$
提示：注意$\sin^2 t\cos^2 t$的积分计算，利用倍角公式$\sin 2t = 2\sin t\cos t$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此原积分 = $2\pi a^2$。
注意：答案中给出的$\frac{20}{8}\pi a^2 = \frac{5}{2}\pi a^2$，但根据计算应为$2\pi a^2$，可能答案有误。检查步骤：原答案中化简后得到$\cos^4 t - \cos^2 t\sin^2 t$，积分得$\frac{5}{8}\pi$乘以$2a^2$得$\frac{5}{4}\pi a^2$？不一致。建议重新验证。
提示：最终结果需仔细核对，避免计算错误。
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