下册 9.2 第二型曲线积分 第57题
📝 题目
57．求 $I=\oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中曲线 $L$ 为闭曲线 $x=a \sin ^{2} t, y=2 a \sin t \cos t$ ， $z=a \cos ^{2} t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ ，曲线 $L$ 的方向按 $t$ 从 0 到 $\pi$ ．
💡 答案解析
解题过程：
$$
\begin{aligned}
I & =\oint_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y+z \mathrm{~d} z \\
& =\int_{0}^{\pi}\left[2 a^{2}\left(\sin ^{2} t+2 \sin t \cos t\right) \sin t \cos t+2 a^{2}\left(3 \sin ^{2} t+2 \sin t \cos t\right) \cos 2 t-2 a^{2} \sin t \cos ^{3} t\right] \mathrm{d} t \\
& =2 a^{2} \int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{3} t \cos t+2 \sin ^{2} t \cos ^{2} t+3 \sin ^{2} t \cos 2 t+2 \sin t \cos t \cos 2 t-\sin t \cos ^{3} t\right) \mathrm{d} t \\
& =2 a^{2} \int_{0}^{\pi}\left(5 \sin ^{2} t \cos ^{2} t-3 \sin ^{2} t \sin ^{2} t+\sin t \cos ^{3} t-\cos t \sin ^{3} t\right) \mathrm{d} t \\
& =2 a^{2} \int_{0}^{\pi}\left(5 \sin ^{2} t \cos ^{2} t-3 \sin ^{2} t \sin ^{2} t\right) \mathrm{d} t=2 a^{2} \int_{0}^{\pi}\left(8 \sin ^{2} t \cos ^{2} t-3 \sin ^{2} t\right) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
$$
=2 a^{2} \pi-6 a^{2} \frac{1}{2} \pi=-a^{2} \pi
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：参数化曲线并代入积分
将曲线参数方程代入积分：
$x = a \sin^2 t$, $y = 2a \sin t \cos t$, $z = a \cos^2 t$，$t$从$0$到$\pi$。
计算微分：
$\mathrm{d}x = 2a \sin t \cos t \, \mathrm{d}t = a \sin 2t \, \mathrm{d}t$，
$\mathrm{d}y = 2a (\cos^2 t - \sin^2 t) \, \mathrm{d}t = 2a \cos 2t \, \mathrm{d}t$，
$\mathrm{d}z = -2a \sin t \cos t \, \mathrm{d}t = -a \sin 2t \, \mathrm{d}t$。
代入得：
$I = \int_0^\pi \left[ (a\sin^2 t + 2a\sin t\cos t)(2a\sin t\cos t) + (3a\sin^2 t + 2a\sin t\cos t)(2a\cos 2t) + (a\cos^2 t)(-a\sin 2t) \right] \mathrm{d}t$。
公式：参数化曲线积分公式：$\oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z = \int_a^b (P x'(t)+Q y'(t)+R z'(t))\mathrm{d}t$
提示：注意微分$\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z$的计算要准确，特别是$\mathrm{d}z$的符号。
步骤 2/6
目标：化简被积函数
化简括号内的表达式：
第一项：$(a\sin^2 t + 2a\sin t\cos t)(2a\sin t\cos t) = 2a^2(\sin^3 t\cos t + 2\sin^2 t\cos^2 t)$。
第二项：$(3a\sin^2 t + 2a\sin t\cos t)(2a\cos 2t) = 2a^2(3\sin^2 t\cos 2t + 2\sin t\cos t\cos 2t)$。
第三项：$(a\cos^2 t)(-a\sin 2t) = -a^2\cos^2 t \sin 2t = -2a^2\sin t\cos^3 t$。
因此被积函数为：
$2a^2[\sin^3 t\cos t + 2\sin^2 t\cos^2 t + 3\sin^2 t\cos 2t + 2\sin t\cos t\cos 2t - \sin t\cos^3 t]$。
提示：注意合并同类项时不要遗漏任何一项。
步骤 3/6
目标：利用三角恒等式化简
利用三角恒等式化简：
$\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$，
$\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin 2t$。
将$\cos 2t$代入，并展开：
$3\sin^2 t\cos 2t = 3\sin^2 t(\cos^2 t - \sin^2 t) = 3\sin^2 t\cos^2 t - 3\sin^4 t$，
$2\sin t\cos t\cos 2t = 2\sin t\cos t(\cos^2 t - \sin^2 t) = 2\sin t\cos^3 t - 2\sin^3 t\cos t$。
代入原式，合并同类项：
$\sin^3 t\cos t + 2\sin^2 t\cos^2 t + (3\sin^2 t\cos^2 t - 3\sin^4 t) + (2\sin t\cos^3 t - 2\sin^3 t\cos t) - \sin t\cos^3 t$。
合并后得：
$(\sin^3 t\cos t - 2\sin^3 t\cos t) = -\sin^3 t\cos t$，
$(2\sin t\cos^3 t - \sin t\cos^3 t) = \sin t\cos^3 t$，
$2\sin^2 t\cos^2 t + 3\sin^2 t\cos^2 t = 5\sin^2 t\cos^2 t$，
还有$-3\sin^4 t$。
所以被积函数为：$2a^2(5\sin^2 t\cos^2 t - 3\sin^4 t - \sin^3 t\cos t + \sin t\cos^3 t)$。
公式：$\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$
提示：注意符号变化，特别是$\sin t\cos t\cos 2t$展开后的项。
步骤 4/6
目标：利用对称性消去奇函数项
考虑积分区间$[0,\pi]$，观察$\sin^3 t\cos t$和$\sin t\cos^3 t$的奇偶性：
令$f(t)=\sin^3 t\cos t$，则$f(\pi - t) = \sin^3(\pi-t)\cos(\pi-t) = \sin^3 t (-\cos t) = -f(t)$，所以$f(t)$关于$t=\pi/2$反对称，积分$\int_0^\pi f(t)\mathrm{d}t=0$。
同理，$\sin t\cos^3 t$也是反对称，积分为0。
因此只剩下$5\sin^2 t\cos^2 t - 3\sin^4 t$。
公式：对称性：若$f(\pi-t)=-f(t)$，则$\int_0^\pi f(t)\mathrm{d}t=0$
提示：注意检查函数的对称性，避免遗漏非零项。
步骤 5/6
目标：化简剩余表达式
剩余部分为：$2a^2 \int_0^\pi (5\sin^2 t\cos^2 t - 3\sin^4 t) \mathrm{d}t$。
利用恒等式：$\sin^2 t\cos^2 t = \frac{1}{4}\sin^2 2t = \frac{1}{8}(1-\cos 4t)$，
$\sin^4 t = (\sin^2 t)^2 = \left(\frac{1-\cos 2t}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2t + \cos^2 2t) = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos 2t + \frac{1+\cos 4t}{2}\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2t + \frac{1}{8}\cos 4t$。
代入得：
$5\sin^2 t\cos^2 t = \frac{5}{8}(1-\cos 4t)$，
$3\sin^4 t = \frac{9}{8} - \frac{3}{2}\cos 2t + \frac{3}{8}\cos 4t$。
相减得：
$5\sin^2 t\cos^2 t - 3\sin^4 t = \frac{5}{8}(1-\cos 4t) - \left(\frac{9}{8} - \frac{3}{2}\cos 2t + \frac{3}{8}\cos 4t\right) = -\frac{4}{8} + \frac{3}{2}\cos 2t - \frac{8}{8}\cos 4t = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\cos 2t - \cos 4t$。
公式：$\sin^2 t\cos^2 t = \frac{1}{8}(1-\cos 4t)$, $\sin^4 t = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2t + \frac{1}{8}\cos 4t$
提示：注意化简过程中系数的准确性。
步骤 6/6
目标：计算定积分
计算积分：
$\int_0^\pi \left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\cos 2t - \cos 4t\right) \mathrm{d}t$。
由于$\int_0^\pi \cos(2kt)\mathrm{d}t = 0$（$k$为正整数），所以：
$\int_0^\pi -\frac{1}{2} \mathrm{d}t = -\frac{\pi}{2}$，
$\int_0^\pi \frac{3}{2}\cos 2t \mathrm{d}t = 0$，
$\int_0^\pi -\cos 4t \mathrm{d}t = 0$。
因此积分值为$-\frac{\pi}{2}$。
乘以$2a^2$得：$I = 2a^2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -a^2\pi$。
公式：$\int_0^\pi \cos(nt)\mathrm{d}t = 0$（$n$为非零整数）
提示：注意$\cos$函数在$[0,\pi]$上的积分，当$n$为整数时，$\int_0^\pi \cos(nt)\mathrm{d}t = 0$（$n\neq0$）。
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