下册 9.2 第二型曲线积分 第58题
📝 题目
58．证明 $\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 在整个 $x y$ 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数。若有力场 $F=\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) i+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) j$ ，求质点在此力场内沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 从点 $A:(-2,0)$ 移动至点 $B:(0, \sqrt{3})$ 时，场力所做的功．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.106 所示，由于
$$
\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y=\mathrm{d}\left(x^{2} \sin y-y^{2} \cos x\right),
$$
所以 $\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 在整个 $x y$ 平面上是函数 $x^{2} \sin y-y^{2} \cos x$ 的全微分。于是
$$
\begin{aligned}
\oint_{L} F \cdot \mathrm{~d} s & =\oint_{L}\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y \\
& =\left(x^{2} \sin y-y^{2} \cos x\right)\left(\begin{array}{l}
(0, \sqrt{3}) \\
(-2,0)
\end{array}=-3 .\right.
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-316.jpg?height=1113&width=1251&top_left_y=1989&top_left_x=4351}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.106}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证全微分条件
设 $P(x,y)=2x\cos y+y^2\cos x$, $Q(x,y)=2y\sin x-x^2\sin y$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = -2x\sin y + 2y\cos x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2y\cos x - 2x\sin y.$$
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 在整个 $xy$ 平面上成立，因此存在函数 $u(x,y)$ 使得 $\mathrm{d}u = P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y$。
公式：全微分条件：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：注意偏导数的计算，尤其是三角函数求导时符号的变化。
步骤 2/6
目标：求原函数（积分法）
从 $\frac{\partial u}{\partial x} = P$ 出发，对 $x$ 积分：
$$u(x,y) = \int (2x\cos y + y^2\cos x) \mathrm{d}x = x^2\cos y + y^2\sin x + \phi(y),$$
其中 $\phi(y)$ 是待定函数。
提示：积分时注意将 $y$ 视为常数，$\cos y$ 是常数系数。
步骤 3/6
目标：确定待定函数
对 $u$ 求 $y$ 的偏导数并与 $Q$ 比较：
$$\frac{\partial u}{\partial y} = -x^2\sin y + 2y\sin x + \phi'(y) = Q = 2y\sin x - x^2\sin y.$$
因此 $\phi'(y)=0$，取 $\phi(y)=C$（常数）。令 $C=0$，得原函数 $u(x,y)=x^2\cos y + y^2\sin x$。
提示：注意 $\phi'(y)$ 应等于 $Q - \frac{\partial}{\partial y}(\int P\mathrm{d}x)$，确保计算正确。
步骤 4/6
目标：验证原函数
计算 $u$ 的全微分：
$$\mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y = (2x\cos y + y^2\cos x)\mathrm{d}x + (-x^2\sin y + 2y\sin x)\mathrm{d}y,$$
与题目中的表达式一致（注意 $Q$ 中 $2y\sin x$ 项符号为正，而 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 中 $2y\sin x$ 为正，$ -x^2\sin y$ 与 $Q$ 中 $-x^2\sin y$ 相同）。因此 $u$ 正确。
提示：验证时注意符号，确保每一项都匹配。
步骤 5/6
目标：计算功（利用全微分）
由于力场 $F$ 是保守场，功等于原函数在终点与起点之差：
$$W = u(B) - u(A) = u(0,\sqrt{3}) - u(-2,0).$$
计算：
$$u(0,\sqrt{3}) = 0^2\cos\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\sin 0 = 0 + 3\cdot 0 = 0,$$
$$u(-2,0) = (-2)^2\cos 0 + 0^2\sin(-2) = 4\cdot 1 + 0 = 4.$$
因此 $W = 0 - 4 = -4$。
公式：保守场做功：$W = u(B)-u(A)$
提示：注意起点和终点的坐标顺序，$W = u(终点)-u(起点)$。
步骤 6/6
目标：检查答案并说明
题目答案给出 $-3$，但根据计算应为 $-4$。可能原题中椭圆路径方向或点坐标有误，或答案有误。此处按正确推导给出 $-4$。
提示：注意核对题目条件，若与答案不符需检查计算过程。
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