下册 9.2 第二型曲线积分 第59题
📝 题目
59．在变力 $\boldsymbol{F}=y z i+z x j+x y k$ 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$的第一象限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $(\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时，$F$ 所做的功 $W$ 最大，并求 $W$ 的最大值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
方法 1：设 $u=x y z$ ，则有 $\operatorname{grad} u=\boldsymbol{F}$ 。所以 $\boldsymbol{F}$ 有势场：
$$
W=\int_{O M} F \mathrm{~d} r=u(M)-u(O)=\xi \eta \zeta .
$$
由于 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 时，
$$
1=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{c^{2}}}=3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}}}(x y z)^{\frac{2}{3}}, \quad x y z \leqslant 3^{\frac{3}{2}} a b c=\frac{1}{3 \sqrt{3}} a b c,
$$
等号成立当且仅当 $\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ，所以 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{b}{\sqrt{3}}, \frac{c}{\sqrt{3}}\right)$ 时，$W$ 达到最大值，且 $W$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{3 \sqrt{3}} a b c$ ．
方法 2：转为求 $f(x, y, z)=x y z$ 在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值．
构造拉格朗日乘法函数 $\displaystyle L(x, y, z, \lambda)=x y z-\lambda\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1\right)$ 。令其所有一阶偏导数等于 0 ，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}=y z-\frac{2 \lambda x}{a^{2}}=0 \\
L_{y}=z x-\frac{2 \lambda y}{b^{2}}=0 \\
L_{z}=x y-\frac{2 \lambda z}{c^{2}}=0 \\
L_{\lambda}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1=0
\end{array}\right.
$$
解之得 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3} a, y=\frac{\sqrt{3}}{3} b, z=\frac{\sqrt{3}}{3} c$ ．于是 $f(x, y, z)$ 的最大值为 $\displaystyle f_{\text {max }}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{3} a b c=\frac{\sqrt{3}}{9} a b c$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断力场是否为有势场
计算力场 $\boldsymbol{F}=yz\boldsymbol{i}+zx\boldsymbol{j}+xy\boldsymbol{k}$ 的旋度：$\nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ yz & zx & xy \end{vmatrix} = (x-x)\boldsymbol{i} + (y-y)\boldsymbol{j} + (z-z)\boldsymbol{k} = \boldsymbol{0}$，因此 $\boldsymbol{F}$ 是有势场。
公式：$\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$
提示：注意旋度计算时偏导数的顺序，确保每个分量正确。
步骤 2/6
目标：求势函数
设势函数 $u(x,y,z)$ 满足 $\nabla u = \boldsymbol{F}$，即 $\frac{\partial u}{\partial x}=yz$，$\frac{\partial u}{\partial y}=zx$，$\frac{\partial u}{\partial z}=xy$。由第一个方程积分得 $u=xyz + \varphi(y,z)$，代入第二个方程得 $xz + \frac{\partial \varphi}{\partial y}=zx$，故 $\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0$，$\varphi$ 与 $y$ 无关。代入第三个方程得 $xy + \frac{\partial \varphi}{\partial z}=xy$，故 $\frac{\partial \varphi}{\partial z}=0$，$\varphi$ 为常数。取 $\varphi=0$，则 $u=xyz$。
公式：$u=xyz$
提示：积分时注意常数项可能是函数，需通过偏导条件确定。
步骤 3/6
目标：计算功的表达式
由于 $\boldsymbol{F}$ 有势，功与路径无关，只与起点终点势函数值有关。起点为原点 $O(0,0,0)$，终点为 $M(\xi,\eta,\zeta)$，故 $W = u(M)-u(O) = \xi\eta\zeta - 0 = \xi\eta\zeta$。
公式：$W = \xi\eta\zeta$
提示：注意势函数差与路径无关，直接代入坐标即可。
步骤 4/6
目标：建立条件极值问题
问题转化为求 $f(\xi,\eta,\zeta)=\xi\eta\zeta$ 在约束条件 $\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2}=1$ 且 $\xi,\eta,\zeta>0$ 下的最大值。
公式：约束：$\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2}=1$
提示：注意第一象限条件，变量为正。
步骤 5/6
目标：利用均值不等式求最大值
由均值不等式：$1 = \frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{\xi^2}{a^2}\cdot\frac{\eta^2}{b^2}\cdot\frac{\zeta^2}{c^2}} = 3\sqrt[3]{\frac{(\xi\eta\zeta)^2}{a^2b^2c^2}}$，所以 $(\xi\eta\zeta)^2 \leq \frac{a^2b^2c^2}{27}$，即 $\xi\eta\zeta \leq \frac{abc}{3\sqrt{3}}$。等号成立当且仅当 $\frac{\xi^2}{a^2}=\frac{\eta^2}{b^2}=\frac{\zeta^2}{c^2}=\frac{1}{3}$，即 $\xi=\frac{a}{\sqrt{3}},\eta=\frac{b}{\sqrt{3}},\zeta=\frac{c}{\sqrt{3}}$。
公式：均值不等式：$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1x_2x_3}$
提示：注意不等式方向，以及等号成立条件。
步骤 6/6
目标：得出最大功
因此，当 $(\xi,\eta,\zeta)=\left(\frac{a}{\sqrt{3}},\frac{b}{\sqrt{3}},\frac{c}{\sqrt{3}}\right)$ 时，$W$ 取得最大值 $\frac{abc}{3\sqrt{3}}$。
公式：$W_{\max}=\frac{abc}{3\sqrt{3}}$
提示：结果需化简，注意 $\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$，两种形式均可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。