下册 9.2 第二型曲线积分 第60题
📝 题目
60．设 $C$ 为空间按段光滑闭曲线，$f(x), \mathrm{g}(x), h(x)$ 连续，证明：
$$
\oint_{C}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $f(x), g(x), h(x)$ 连续，所以分别存在函数 $F(x), G(x), H(x)$ ，使
$$
\mathrm{d} F(x)=f(x), \mathrm{d} G(x)=g(x), \mathrm{d} H(x)=h(x) .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
& \oint_{C}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x \\
= & \oint_{C} f(x) \mathrm{d} x+g(y) \mathrm{d} y+h(x) \mathrm{d} z-\mathrm{d}(x y z)=\oint_{C} \mathrm{~d}(F(x)+G(y)+H(x)-(x y z))
\end{aligned}
$$
这说明积分与路径无关．从而 $\oint_{c}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件，引入原函数
由于 $f(x), g(y), h(z)$ 连续，根据微积分基本定理，存在可导函数 $F(x), G(y), H(z)$ 使得 $F'(x)=f(x)$, $G'(y)=g(y)$, $H'(z)=h(z)$，即 $dF(x)=f(x)dx$, $dG(y)=g(y)dy$, $dH(z)=h(z)dz$。
公式：$dF(x)=f(x)dx$
提示：注意原函数的存在性依赖于连续性，且原函数不唯一，但差一个常数不影响积分结果。
步骤 2/6
目标：将积分表达式拆分为两部分
原积分 $I = \oint_C (f(x)-yz)dx + (g(y)-xz)dy + (h(z)-xy)dz$。将括号展开，得到 $I = \oint_C f(x)dx + g(y)dy + h(z)dz - \oint_C (yz dx + xz dy + xy dz)$。
提示：注意第三项是 $dz$，题目中写成了 $dx$，实际应为 $dz$。
步骤 3/6
目标：处理第一部分积分
第一部分 $\oint_C f(x)dx + g(y)dy + h(z)dz = \oint_C dF(x) + dG(y) + dH(z) = \oint_C d(F(x)+G(y)+H(z))$。由于 $F+G+H$ 是连续可微函数，沿闭曲线积分为零。
公式：$\oint_C d\Phi = 0$ 对任意可微函数 $\Phi$ 成立
提示：注意 $d(F+G+H)$ 是全微分，闭曲线积分为零。
步骤 4/6
目标：处理第二部分积分
第二部分 $\oint_C (yz dx + xz dy + xy dz)$。注意到 $d(xyz) = yz dx + xz dy + xy dz$，因此该积分也是全微分 $d(xyz)$ 的闭曲线积分，值为零。
公式：$d(xyz)=yz dx + xz dy + xy dz$
提示：验证全微分：$\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z$, $\frac{\partial (xz)}{\partial x}=z$ 等，确保混合偏导相等。
步骤 5/6
目标：合并两部分结果
因此 $I = 0 - 0 = 0$。或者将原积分写为 $\oint_C d(F(x)+G(y)+H(z)-xyz)=0$。
提示：注意符号：原积分是 $f(x)-yz$ 等，所以全微分是 $d(F+G+H-xyz)$。
步骤 6/6
目标：总结结论
由以上推导，原积分等于零，与闭曲线 $C$ 无关。
提示：本题关键是将被积表达式凑成全微分。
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