下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第4题
📝 题目
4．设 $S$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（吉林大学2001（ $R=1$ ））
（3） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（浙江大学 2014，南京大学 2004（ $R=1$ ））
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.116 所示，补平面 $S^{\prime}: x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, z=0$ ，方向向上．$S^{\prime}+S$为一封闭的半球面，所围空间记为 $\Omega$ ．曲面 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$ 。由高斯公式得
（1） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-325.jpg?height=1107&width=1382&top_left_y=2527&top_left_x=4275}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.116}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
& =-\iiint_{\Omega}(1-1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =-\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\frac{2}{3} \pi R^{3} .
\end{aligned}
$$
（2） $\iint_{S+S^{\prime}}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Omega}(1+1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-2 \pi R^{3}$ ．
又 $\quad \iint_{S^{\prime}}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iint_{S^{\prime}}\left(-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{v}}\left(-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{R} r^{3} \mathrm{~d} r=-\frac{1}{2} \pi R^{4},
$$
于是 $\displaystyle \iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \pi R^{3}-\left(-\frac{1}{2} \pi R^{4}\right)=-2 \pi R^{3}+\frac{1}{2} \pi R^{4}$ ．
（3） $\iint_{S+S^{\prime}} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=-3 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{R} r^{2} r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r=-\frac{6}{5} \pi R^{5} .
$$
又 $\iint_{S^{\prime}} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，所以 $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{6}{5} \pi R^{5}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：补平面并应用高斯公式
补平面 $S': z=0, x^2+y^2 \leq R^2$，方向向上。$S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$ 为上半球体。由高斯公式，将曲面积分转化为三重积分。注意 $S$ 为下侧，故 $S+S'$ 外侧为 $S'$ 向上、$S$ 向下，因此高斯公式前加负号。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意曲面方向：$S$ 为下侧，补平面向上，整体外侧方向需一致，此处 $S$ 方向与外侧相反，故高斯公式前加负号。
步骤 2/7
目标：计算第(1)问的三重积分
对于(1)，$P=x, Q=-y, R=z$，散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1-1+1=1$。则 $\iint_{S+S'} x dy dz - y dx dz + z dx dy = -\iiint_\Omega 1 dV = -\frac{2}{3}\pi R^3$（半球体积）。再减去 $S'$ 上的积分：$S'$ 上 $z=0, dz=0$，且 $S'$ 向上，法向量与 $z$ 轴正向一致，故 $\iint_{S'} x dy dz - y dx dz + z dx dy = \iint_{S'} 0 dx dy = 0$。因此原积分 $= -\frac{2}{3}\pi R^3$。
公式：半球体积：$\frac{2}{3}\pi R^3$
提示：注意 $S'$ 上 $z=0$，$dy dz$ 和 $dx dz$ 项在 $S'$ 上投影为零，只有 $dx dy$ 项，但 $z=0$ 故该项也为0。
步骤 3/7
目标：计算第(2)问的三重积分
对于(2)，$P=x-y^2-z^2, Q=y-z^2-x^2, R=z-x^2-y^2$，散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3$。则 $\iint_{S+S'} = -\iiint_\Omega 3 dV = -3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = -2\pi R^3$。
公式：散度计算：$\frac{\partial}{\partial x}(x-y^2-z^2)=1$，类似得 $1+1+1=3$
提示：散度计算要仔细，每个偏导数为1。
步骤 4/7
目标：计算第(2)问中S'上的积分
在 $S'$ 上，$z=0, dz=0$，且法向量向上，故 $dy dz$ 和 $dz dx$ 项积分为0，只有 $dx dy$ 项：$\iint_{S'} (z-x^2-y^2) dx dy = \iint_{D_{xy}} (0 - x^2 - y^2) dx dy = -\iint_{D_{xy}} (x^2+y^2) dx dy$。极坐标：$=-\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r^2 \cdot r dr = -2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = -\frac{1}{2}\pi R^4$。
公式：极坐标变换：$x^2+y^2=r^2, dx dy = r dr d\theta$
提示：注意 $S'$ 方向向上，$dx dy$ 项系数为正，但被积函数为负，结果负。
步骤 5/7
目标：得到第(2)问结果
原积分 $\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'} = (-2\pi R^3) - (-\frac{1}{2}\pi R^4) = -2\pi R^3 + \frac{1}{2}\pi R^4$。
提示：注意减法：封闭曲面积分减去补面积分。
步骤 6/7
目标：计算第(3)问的三重积分
对于(3)，$P=x^3, Q=y^3, R=z^3$，散度 $3x^2+3y^2+3z^2=3(x^2+y^2+z^2)$。则 $\iint_{S+S'} = -\iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2) dV$。球坐标：$x^2+y^2+z^2=r^2, dV=r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$，积分区域 $0\leq\theta\leq2\pi, 0\leq\varphi\leq\pi/2, 0\leq r\leq R$。计算：$-3\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin\varphi d\varphi \int_0^R r^4 dr = -3 \cdot 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{R^5}{5} = -\frac{6}{5}\pi R^5$。
公式：球坐标：$dV=r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$
提示：注意 $\varphi$ 从0到$\pi/2$（上半球），$\sin\varphi$ 积分得1。
步骤 7/7
目标：计算第(3)问中S'上的积分
在 $S'$ 上，$z=0, dz=0$，且 $S'$ 向上，法向量与 $z$ 轴正向一致，故 $dy dz$ 和 $dz dx$ 项积分为0，$dx dy$ 项被积函数 $z^3=0$，所以 $\iint_{S'} = 0$。因此原积分 $= -\frac{6}{5}\pi R^5$。
提示：注意 $z=0$ 导致 $z^3=0$，其他项投影为零。
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