下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第5题
📝 题目
5．求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧。．
（2） $\iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图9．117所示，补平面 $S^{\prime}: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, z=0$ ，方向向下．$S^{\prime}+S$ 为一封闭的半球面，所围空间记为 $\Omega$ ．曲面 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ ．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\frac{2}{3} \pi a^{3}
$$
又 $\iint_{S^{\prime}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，所以 $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{2}{3} \pi a^{3}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-326.jpg?height=1002&width=1328&top_left_y=2376&top_left_x=973}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．117}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-326.jpg?height=1016&width=1327&top_left_y=2362&top_left_x=3557}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.118}
\end{figure}
（2）如图 9.118 所示，补平面 $S^{\prime}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, z=0$ ，方向向上．$S^{\prime}+S$ 为一封闭的半球面，所围空间记为 $\Omega$ ．曲面 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S^{\prime}}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(1+1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi \\
& \iint_{S^{\prime}}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}\left(-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{v}} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{v}} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
\end{aligned}
$$
所以 $\quad \iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：补面构造封闭曲面
对于第一问，曲面 $S$ 是 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，即下半球面的上侧。为了使用高斯公式，需要补一个平面 $S'$：$z=0$，$x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$，方向向下（因为原曲面是上侧，封闭曲面需取外侧，下半球面外侧是下侧，所以补面取向下）。$S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$ 为下半球体。
提示：注意曲面方向：原曲面是上侧，补面方向应使封闭曲面外侧一致。
步骤 2/8
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
由高斯公式，$\iint_{S+S'} z \,dxdy = -\iiint_{\Omega} \frac{\partial z}{\partial z} \,dV = -\iiint_{\Omega} 1 \,dV$。其中 $\Omega$ 是半径为 $a$ 的半球体，体积为 $\frac{2}{3}\pi a^{3}$，所以积分值为 $-\frac{2}{3}\pi a^{3}$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_{\Omega} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式中方向为外侧，这里封闭曲面外侧指向下半球体外侧，即下侧，所以公式前有负号。
步骤 3/8
目标：计算补面上的积分
在补面 $S'$ 上，$z=0$，所以被积函数 $z=0$，因此 $\iint_{S'} z \,dxdy = 0$。
提示：补面在 $z=0$ 平面，直接代入即可。
步骤 4/8
目标：得到原曲面积分结果
由 $\iint_{S+S'} z \,dxdy = \iint_{S} z \,dxdy + \iint_{S'} z \,dxdy$，得 $\iint_{S} z \,dxdy = -\frac{2}{3}\pi a^{3} - 0 = -\frac{2}{3}\pi a^{3}$。
提示：注意符号：封闭曲面积分等于各曲面之和。
步骤 5/8
目标：第二问：补面构造封闭曲面
曲面 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧。补平面 $S'$：$z=0$，$x^{2}+y^{2} \leq 1$，方向向上（因为下半球面下侧，封闭曲面外侧应指向下半球体外侧，即下侧，所以补面取向上）。$S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$ 为下半球体。
提示：注意方向：原曲面是下侧，补面应取上侧才能构成外侧封闭曲面。
步骤 6/8
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
被积表达式为 $P = x-\sin(yz)$，$Q = y-\sin(zx)$，$R = z-x^{2}+y^{2}$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=1$，$\frac{\partial R}{\partial z}=1$，散度和为3。由高斯公式，$\iint_{S+S'} \cdots = \iiint_{\Omega} 3 \,dV = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi \cdot 1^{3} = 2\pi$（下半球体积为 $\frac{2}{3}\pi$）。
公式：高斯公式
提示：注意散度计算正确，体积为半球体积。
步骤 7/8
目标：计算补面上的积分
在补面 $S'$ 上，$z=0$，$dz=0$，且法向量向上，所以 $dxdy$ 为正。被积函数中，$x-\sin(yz)=x$，$y-\sin(zx)=y$，$z-x^{2}+y^{2}=-x^{2}+y^{2}$。由于 $S'$ 在 $xy$ 平面投影为 $D_{xy}: x^{2}+y^{2} \leq 1$，且方向向上，所以 $\iint_{S'} \cdots = \iint_{D_{xy}} (-x^{2}+y^{2}) \,dxdy$。由对称性，$\iint_{D_{xy}} x^{2} \,dxdy = \iint_{D_{xy}} y^{2} \,dxdy$，所以差为0。
提示：注意 $z=0$ 时 $\sin(yz)=0$，$\sin(zx)=0$；对称性应用。
步骤 8/8
目标：得到第二问结果
由 $\iint_{S+S'} = \iint_{S} + \iint_{S'}$，得 $\iint_{S} \cdots = 2\pi - 0 = 2\pi$。
提示：注意补面积分值为0。
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