下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第6题
📝 题目
6．设 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（2） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。$(a=1)$
（3） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海师大2006（a＝1））
（5） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6）$\oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S$ ，其中 $u=x^{4}+y^{4}+z^{4}, n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为球面的单位向量，
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$ ．
（8） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(y), g(z)$ 分别为 $y, z$ 的偶函数．（安徽大学 2005$)(a=1)$
（9） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.119 所示，记球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的立体为 $\Omega$ 。由对称性知
$$
\begin{gathered}
\iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{3} \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} r^{4} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta \\
=\int_{0}^{a} r^{4} \mathrm{~d} r \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta=\frac{4 \pi}{5} a^{5}
\end{gathered}
$$
由高斯公式得：
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-327.jpg?height=1147&width=1265&top_left_y=2438&top_left_x=4330}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.119}
\end{figure}
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4 \pi}{5} a^{5}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=3 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{8 \pi}{5} a^{5}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{12 \pi}{5} a^{5}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{12 \pi}{5} a^{5}$ ．
（5） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}\left(3 x^{2}+6 y^{2}+9 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=(1+2+3) \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{24 \pi}{5} a^{5} .
$$
（6）$\oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=3 \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+3 a^{2} \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \cdot \frac{4}{5} \pi a^{5}+4 \pi a^{5}=\frac{32}{5} \pi a^{5} .
$$
（7）$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\left(u_{x} \cos \alpha+u_{y} \cos \beta+u_{z} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=4\left(x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ 。由高斯公式得
$$
\iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=4 \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \iiint_{\Omega}\left(3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{48 \pi}{5} a^{5} .
$$
（8） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}\left(1+f^{\prime}(y)+g^{\prime}(z)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{3} \pi a^{3}+\iint_{x^{2}+z^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
对于第二型曲面积分 $\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$，高斯公式给出：
$$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz,$$
其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧，$\Omega$ 是球体。
公式：高斯公式：$\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (P_x+Q_y+R_z)\,dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，且 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 内有一阶连续偏导数。
步骤 2/8
目标：计算对称性简化三重积分
由对称性，在球体 $\Omega$ 上，$\iiint_\Omega x^2\,dV = \iiint_\Omega y^2\,dV = \iiint_\Omega z^2\,dV = \frac{1}{3}\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV$。
计算 $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV$：使用球坐标 $x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi$，$dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$，则
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi \sin\varphi\,d\varphi\int_0^a r^4\,dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{4\pi}{5}a^5.$$
公式：球坐标变换：$x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi$，$dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$
提示：注意球坐标中 $\varphi$ 的范围是 $0$ 到 $\pi$，$\theta$ 是 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 3/8
目标：求解第(1)小题
对于 $\iint_S x^3\,dy\,dz$，有 $P=x^3, Q=0, R=0$，则 $P_x=3x^2$。由高斯公式：
$$\iint_S x^3\,dy\,dz = \iiint_\Omega 3x^2\,dV = 3\cdot\frac{1}{3}\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \frac{4\pi}{5}a^5.$$
提示：注意 $x^2$ 的三重积分等于 $\frac{1}{3}$ 乘以 $r^2$ 的积分。
步骤 4/8
目标：求解第(2)小题
对于 $\iint_S x^3\,dy\,dz + y^3\,dz\,dx$，有 $P=x^3, Q=y^3, R=0$，则 $P_x+Q_y=3x^2+3y^2$。由高斯公式：
$$\iint_S x^3\,dy\,dz + y^3\,dz\,dx = \iiint_\Omega 3(x^2+y^2)\,dV = 3\cdot\frac{2}{3}\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = 2\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \frac{8\pi}{5}a^5.$$
提示：注意 $x^2+y^2$ 的积分等于 $\frac{2}{3}$ 倍的 $r^2$ 积分。
步骤 5/8
目标：求解第(3)小题
对于 $\iint_S x^3\,dy\,dz + y^3\,dz\,dx + z^3\,dx\,dy$，有 $P=x^3, Q=y^3, R=z^3$，则 $P_x+Q_y+R_z=3x^2+3y^2+3z^2=3(x^2+y^2+z^2)$。由高斯公式：
$$\iint_S x^3\,dy\,dz + y^3\,dz\,dx + z^3\,dx\,dy = \iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2)\,dV = 3\cdot\frac{4\pi}{5}a^5 = \frac{12\pi}{5}a^5.$$
提示：直接代入 $r^2$ 的积分结果。
步骤 6/8
目标：求解第(4)小题
对于 $\iint_S (x^3-y^3-z^3)\,dy\,dz + (y^3-z^3-x^3)\,dz\,dx + (z^3-x^3-y^3)\,dx\,dy$，有 $P=x^3-y^3-z^3, Q=y^3-z^3-x^3, R=z^3-x^3-y^3$。计算散度：
$$P_x = 3x^2, \quad Q_y = 3y^2, \quad R_z = 3z^2,$$
所以 $P_x+Q_y+R_z = 3(x^2+y^2+z^2)$。由高斯公式得积分等于 $\iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2)\,dV = \frac{12\pi}{5}a^5$。
提示：注意 $P$ 中 $-y^3$ 和 $-z^3$ 对 $x$ 求导为0，类似地其他项。
步骤 7/8
目标：求解第(5)小题
对于 $\iint_S x^3\,dy\,dz + 2y^3\,dz\,dx + 3z^3\,dx\,dy$，有 $P=x^3, Q=2y^3, R=3z^3$，则 $P_x=3x^2, Q_y=6y^2, R_z=9z^2$。散度和为 $3x^2+6y^2+9z^2$。由对称性，
$$\iiint_\Omega 3x^2\,dV = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \frac{4\pi}{5}a^5,$$
$$\iiint_\Omega 6y^2\,dV = 2\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \frac{8\pi}{5}a^5,$$
$$\iiint_\Omega 9z^2\,dV = 3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV = \frac{12\pi}{5}a^5,$$
总和为 $\frac{4\pi}{5}a^5 + \frac{8\pi}{5}a^5 + \frac{12\pi}{5}a^5 = \frac{24\pi}{5}a^5$。
提示：注意系数不同时，分别利用对称性计算。
步骤 8/8
目标：求解第(6)小题
对于 $\oiint_S x(x^2+a^2)\,dy\,dz + y(y^2+a^2)\,dz\,dx + z(z^2+a^2)\,dx\,dy$，有 $P=x(x^2+a^2)=x^3+a^2x, Q=y^3+a^2y, R=z^3+a^2z$。散度：$P_x=3x^2+a^2, Q_y=3y^2+a^2, R_z=3z^2+a^2$，和为 $3(x^2+y^2+z^2)+3a^2$。由高斯公式：
$$\iiint_\Omega [3(x^2+y^2+z^2)+3a^2]\,dV = 3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV + 3a^2\iiint_\Omega dV = 3\cdot\frac{4\pi}{5}a^5 + 3a^2\cdot\frac{4\pi}{3}a^3 = \frac{12\pi}{5}a^5 + 4\pi a^5 = \frac{32\pi}{5}a^5.$$
公式：球体积：$\iiint_\Omega dV = \frac{4}{3}\pi a^3$
提示：注意 $a^2$ 是常数，积分时直接乘以体积。
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