下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第7题
📝 题目
7．设 $S$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的内侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海交大 2000，浙江师大 2011（半径为 1），安徽工大 2008）
（2） $\iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．120所示，记球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的立体为 $\Omega$ 。由高斯公式得：
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-3 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\frac{12 \pi}{5} a^{5}$ ．
（2） $\iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$
$$
\begin{aligned}
& =-\iiint_{\Omega}\left(2 x+2 y+3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-3 \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =-\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\frac{4 \pi}{5} a^{5}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-328.jpg?height=1141&width=1279&top_left_y=2859&top_left_x=4323}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．120}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。