下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第8题
📝 题目
8．求下列第二型曲面积分．
（1）设 $S$ 为球面 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 外侧，求
（1） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。苏州科技2008／2009，东北师大 2006，上海大学 2005，青岛大学 2010，河北大学 2011，北京科技 2011，武汉大学 2000 ，中南大学 2000 ，地质大学 2003 ，南京大学 2000 ，大连理工 2002，首都师大 2010，西北大学 2009）
（2） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(x+y+z)$ 的外侧。
（3） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z(a>0)$ 的外侧．
（4） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ 的外侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记球面 $S$ 围成的立体为 $\Omega$ 。在变换 $x=a+r \sin \varphi \cos \theta, y=b+r \sin \varphi \sin \theta, z=c+r \cos \varphi$ 下，$\Omega$可表为
$$
0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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