下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第9题
📝 题目
9．求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S}(x+b+c)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+c+a)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+a+b)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为半球面 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+ (z-c)^{2}=R^{2}, z \geqslant c$ 的上侧．
（2） $\iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为半球面 $x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}(0 \leqslant z \leqslant a)$ 的下侧．
（3） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为半球面 $z=1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.124 所示，补平面 $S^{\prime}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2} \leqslant R^{2}, z=c$ ，方向向下．$S^{\prime}+S$ 为一封闭的半球面，所围空间记为 $\Omega$ ．曲面 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为
$$
D_{x y}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2} \leqslant R^{2}
$$
作变换 $x=a+r \sin \varphi \cos \theta, y=b+r \sin \varphi \sin \theta, z=c+r \cos \varphi . \Omega$ 可表为
$$
0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：补平面构造封闭曲面
对于第一型曲面积分，通常通过补平面构造封闭曲面，然后应用高斯公式。对于（1），补平面 $S'$ 为 $(x-a)^2+(y-b)^2 \leq R^2, z=c$，方向向下。$S+S'$ 构成封闭半球面，所围区域记为 $\Omega$。
提示：注意补平面的方向应与原曲面方向一致构成外侧封闭曲面。
步骤 2/11
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
由高斯公式，
$$
\iint_{S+S'} (x+b+c)^2 dy dz + (y+c+a)^2 dz dx + (z+a+b)^2 dx dy = 2 \iiint_\Omega (x+b+c + y+c+a + z+a+b) dV.
$$
化简被积函数：
$$
x+b+c + y+c+a + z+a+b = (x-a)+(y-b)+(z-c) + 3(a+b+c).
$$
由于区域关于 $x=a, y=b$ 对称，$(x-a)$ 和 $(y-b)$ 的积分为零，而 $(z-c)$ 的积分需计算。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，此处 $S+S'$ 为外侧。
步骤 3/11
目标：计算三重积分
使用球坐标变换：$x=a+r\sin\varphi\cos\theta, y=b+r\sin\varphi\sin\theta, z=c+r\cos\varphi$，其中 $0\leq r\leq R, 0\leq\varphi\leq\pi/2, 0\leq\theta\leq 2\pi$，雅可比行列式 $J=r^2\sin\varphi$。
$$
\iiint_\Omega (z-c) dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} d\varphi \int_0^R r\cos\varphi \cdot r^2\sin\varphi dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{4}.
$$
$$
\iiint_\Omega 3(a+b+c) dV = 3(a+b+c) \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = 2(a+b+c)\pi R^3.
$$
因此封闭曲面积分为 $2 \cdot (\frac{\pi R^4}{4} + 2(a+b+c)\pi R^3) = \frac{\pi R^4}{2} + 4(a+b+c)\pi R^3$。
公式：球坐标变换及积分公式
提示：注意 $(z-c)$ 在球坐标下为 $r\cos\varphi$，不要遗漏雅可比。
步骤 4/11
目标：计算补平面上的积分
在补平面 $S'$ 上，$z=c$，$dz=0$，且法向量向下，故 $dxdy$ 前取负号。
$$
\iint_{S'} (x+b+c)^2 dy dz + (y+c+a)^2 dz dx + (z+a+b)^2 dx dy = \iint_{S'} (c+a+b)^2 dx dy = -(c+a+b)^2 \iint_{D_{xy}} dx dy = -\pi R^2 (a+b+c)^2.
$$
其中 $D_{xy}: (x-a)^2+(y-b)^2 \leq R^2$。
公式：曲面积分投影法
提示：注意方向：补平面向下，故 $dxdy$ 项取负。
步骤 5/11
目标：相减得到原曲面积分
原曲面积分等于封闭曲面积分减去补平面上的积分：
$$
\iint_S = \left(\frac{\pi R^4}{2} + 4(a+b+c)\pi R^3\right) - \left(-\pi R^2 (a+b+c)^2\right) = \frac{\pi R^4}{2} + 4(a+b+c)\pi R^3 + \pi R^2 (a+b+c)^2.
$$
注意答案中 $\frac{1}{4}\pi R^4$ 应为 $\frac{1}{2}\pi R^4$，但原答案给出 $\frac{1}{4}\pi R^4$，可能计算有误，此处按推导给出。
提示：注意符号：封闭曲面积分减去补平面积分时，补平面积分本身带负号。
步骤 6/11
目标：第二题：补平面与高斯公式
对于（2），补平面 $S': x^2+y^2 \leq a^2, z=a$，方向向上。$S+S'$ 封闭，所围区域 $\Omega$ 为下半球体。由高斯公式，
$$
\iint_{S+S'} yz dy dz + xz dz dx + (x+y+z) dx dy = \iiint_\Omega (0+0+1) dV = \frac{2}{3}\pi a^3.
$$
注意 $\Omega$ 体积为半球体积 $\frac{2}{3}\pi a^3$。
公式：高斯公式
提示：注意 $\Omega$ 是下半球，但体积仍为半球体积。
步骤 7/11
目标：计算补平面上的积分
在 $S'$ 上，$z=a$，法向量向上，$dxdy$ 项为正。
$$
\iint_{S'} yz dy dz + xz dz dx + (x+y+z) dx dy = \iint_{S'} (x+y+a) dx dy = \iint_{D_{xy}} (x+y+a) dx dy.
$$
由对称性，$x$ 和 $y$ 的积分为零，故结果为 $a \cdot \pi a^2 = \pi a^3$。
公式：曲面积分投影法
提示：注意 $S'$ 方向向上，$dxdy$ 项取正。
步骤 8/11
目标：相减得原积分
原曲面积分 $= \frac{2}{3}\pi a^3 - \pi a^3 = -\frac{1}{3}\pi a^3$。
提示：注意符号：封闭积分减补平面积分。
步骤 9/11
目标：第三题：补平面与高斯公式
对于（3），补平面 $S': x^2+y^2 \leq 1, z=1$，方向向下。$S+S'$ 封闭，所围区域 $\Omega$ 为半球体 $z=1+\sqrt{1-x^2-y^2}$ 下方。由高斯公式，
$$
\iint_{S+S'} x^2 dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_\Omega (2x+1+1) dV = 2\iiint_\Omega x dV + 2\iiint_\Omega dV.
$$
由对称性，$\iiint_\Omega x dV = 0$，$\iiint_\Omega dV = \frac{2}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{2\pi}{3}$，故封闭积分为 $2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$。
公式：高斯公式
提示：注意区域 $\Omega$ 是半径为1的半球体。
步骤 10/11
目标：计算补平面上的积分
在 $S'$ 上，$z=1$，法向量向下，$dxdy$ 项取负。
$$
\iint_{S'} x^2 dy dz + y dz dx + z dx dy = \iint_{S'} 1 \cdot dx dy = -\iint_{D_{xy}} dx dy = -\pi.
$$
其中 $D_{xy}: x^2+y^2 \leq 1$。
公式：曲面积分投影法
提示：注意 $S'$ 向下，$dxdy$ 项为负。
步骤 11/11
目标：相减得原积分
原曲面积分 $= \frac{4\pi}{3} - (-\pi) = \frac{7\pi}{3}$。
提示：注意减去负号得加。
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