下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第11题
📝 题目
11．设 $S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的上半部分，其定向为下侧，求第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．128所示，补面 $\displaystyle S^{\prime}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1, z=0$ ，方向向上．$S^{\prime}+S$ 为一封闭的半球面，所围空间记为 $\Omega$ ，曲面 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $\displaystyle D_{x y}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．利用高斯公式得：
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-333.jpg?height=1127&width=1397&top_left_y=3964&top_left_x=4095}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.128}
\end{figure}
（1） $\displaystyle \iint_{S+S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iiint_{\Omega}(1-1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi a b c=-\frac{2}{3} \pi a b c$ ．
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，
所以 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{2}{3} \pi a b c$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S+S^{\prime}}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iiint_{\Omega}(1+1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi a b c=-2 \pi a b c$ ．
又 $\quad \iint_{S^{\prime}}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi a b$ ，
所以 $\iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \pi a b c-2 \pi a b$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析题目，确定解题方法
题目要求计算椭球面上半部分（定向为下侧）的第二型曲面积分。由于曲面不封闭，考虑补面后使用高斯公式。补面 $S'$ 为 $z=0$ 上的椭圆盘 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1$，方向向上（与 $S$ 构成封闭曲面外侧）。
提示：注意定向：$S$ 为下侧，补面 $S'$ 应取上侧，使得封闭曲面方向为外侧。
步骤 2/7
目标：计算第一问：应用高斯公式于封闭曲面
对于第一问，被积表达式为 $x\,dy\,dz - y\,dx\,dz + z\,dx\,dy$。设 $P=x, Q=-y, R=z$，则 $\frac{\partial P}{\partial x}=1, \frac{\partial Q}{\partial y}=-1, \frac{\partial R}{\partial z}=1$。由高斯公式，$\iint_{S+S'} P\,dy\,dz+Q\,dx\,dz+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (1-1+1)\,dV = \iiint_\Omega 1\,dV$，其中 $\Omega$ 为上半椭球体。上半椭球体积为 $\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi abc = \frac{2}{3}\pi abc$，故积分值为 $-\frac{2}{3}\pi abc$（注意封闭曲面外侧方向，高斯公式给出的是外侧积分，而 $S+S'$ 外侧即 $S$ 下侧和 $S'$ 上侧，与题目中 $S$ 定向一致，故直接取负号？实际上，高斯公式直接给出外侧积分，而 $S$ 定向为下侧，$S'$ 为上侧，恰好构成外侧，所以积分值即为高斯公式结果，但需注意符号：高斯公式中 $\iint_{\partial \Omega} = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$，这里 $\partial\Omega$ 取外侧，所以直接等于 $\iiint_\Omega 1\,dV = \frac{2}{3}\pi abc$，但题目中 $S$ 定向为下侧，而 $S'$ 为上侧，所以 $S+S'$ 整体是外侧，因此 $\iint_{S+S'} = \frac{2}{3}\pi abc$。然而答案中写的是 $-\frac{2}{3}\pi abc$，可能是符号处理不同？检查：高斯公式中 $\iint_{\partial\Omega} Pdy\,dz+Qdx\,dz+Rdx\,dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dV$，这里 $\partial\Omega$ 取外侧。$S$ 下侧，$S'$ 上侧，合起来是外侧，所以 $\iint_{S+S'} = \iiint_\Omega 1\,dV = \frac{2}{3}\pi abc$。但答案中写的是 $-\frac{2}{3}\pi abc$，可能是由于 $S$ 定向为下侧，而高斯公式中 $S$ 部分贡献为负？实际上，如果 $S$ 取下侧，则 $S$ 的法向量指向下方，而外侧法向量指向上方？注意：封闭曲面外侧，对于上半椭球，顶部曲面法向量指向外（即斜向上），底部平面法向量指向下（因为外侧在下方？）。实际上，上半椭球体的边界：顶部椭球面法向量指向外（即指向远离球心的方向，对于上半部分，指向斜上方），底部平面法向量指向下（因为外侧在下方）。但题目中 $S$ 定向为下侧，即法向量指向下，这与顶部椭球面的外侧法向量相反（顶部外侧法向量指向上方）。所以 $S$ 的定向与外侧相反。而 $S'$ 定向为上侧，即法向量向上，这与底部平面的外侧法向量（向下）相反。因此 $S+S'$ 的定向与外侧相反。所以高斯公式应取负号：$\iint_{S+S'} = -\iiint_\Omega 1\,dV = -\frac{2}{3}\pi abc$。这样答案就一致了。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial\Omega} P\,dy\,dz+Q\,dx\,dz+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dV$
提示：注意曲面定向与高斯公式中外侧方向的关系。若定向与外侧相反，则结果需加负号。
步骤 3/7
目标：计算第一问：补面上的积分
补面 $S'$ 为 $z=0$ 上的椭圆盘，方向向上。在 $S'$ 上，$z=0$，$dz=0$，且 $x\,dy\,dz$ 和 $-y\,dx\,dz$ 均为0（因为 $dz=0$），只有 $z\,dx\,dy$ 项，但 $z=0$，所以整个被积表达式为0。因此 $\iint_{S'} x\,dy\,dz - y\,dx\,dz + z\,dx\,dy = 0$。
提示：在 $z=0$ 平面上，$dz=0$，且 $z=0$，所以积分简化为0。
步骤 4/7
目标：得出第一问结果
由 $\iint_{S+S'} = -\frac{2}{3}\pi abc$ 和 $\iint_{S'} = 0$，得 $\iint_S = -\frac{2}{3}\pi abc$。
提示：注意符号：$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$，但这里 $S+S'$ 的积分已包含符号。
步骤 5/7
目标：计算第二问：应用高斯公式于封闭曲面
对于第二问，被积表达式为 $(x+2y)\,dy\,dz + (y+z)\,dx\,dz + (z+2)\,dx\,dy$。设 $P=x+2y, Q=y+z, R=z+2$，则 $\frac{\partial P}{\partial x}=1, \frac{\partial Q}{\partial y}=1, \frac{\partial R}{\partial z}=1$。由高斯公式，$\iint_{S+S'} = -\iiint_\Omega (1+1+1)\,dV = -3\cdot\frac{2}{3}\pi abc = -2\pi abc$（负号原因同第一问）。
公式：高斯公式
提示：注意散度计算正确。
步骤 6/7
目标：计算第二问：补面上的积分
在补面 $S'$（$z=0$，方向向上）上，$z=0$，$dz=0$。被积表达式化为 $(x+2y)\,dy\,dz + (y+0)\,dx\,dz + (0+2)\,dx\,dy = 2\,dx\,dy$（因为前两项含 $dz$ 为0）。所以 $\iint_{S'} = \iint_{D_{xy}} 2\,dx\,dy$，其中 $D_{xy}: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1$。椭圆盘面积为 $\pi a b$，故积分值为 $2\pi a b$。
公式：二重积分：$\iint_{D_{xy}} 2\,dx\,dy = 2\cdot \text{Area}(D_{xy}) = 2\pi a b$
提示：注意 $S'$ 方向向上，但这里被积函数不含方向因子，直接投影计算即可。
步骤 7/7
目标：得出第二问结果
由 $\iint_{S+S'} = -2\pi abc$ 和 $\iint_{S'} = 2\pi a b$，得 $\iint_S = -2\pi abc - 2\pi a b$。
提示：注意减法：$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$。
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