下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第12题
📝 题目
12．设 $S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的下半部分（其中 $a, b, c>0$ ），积分正向取椭球外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．129所示，补面 $\displaystyle S^{\prime}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1, z=0$ ，方向向上。 $S^{\prime}+S$ 为一封闭的半球，所围空间记为 $\Omega$ ．曲面 $S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $\displaystyle D_{x y}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．由高斯公式得：
（1） $\iint_{S+S^{\prime}} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} 3 x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-334.jpg?height=1002&width=1320&top_left_y=953&top_left_x=4158}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.129}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
& =3 a^{3} b c \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1}(r \cos \theta \sin \varphi)^{2} r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \\
& =3 a^{3} b c \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{1} r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{2}{5} \pi a^{3} b c
\end{aligned}
$$
又 $\iint_{S^{\prime}} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．所以 $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{2}{5} \pi a^{3} b c$ ．
（2） $\iint_{S+S^{\prime}} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{2}{15} \pi a^{3} b c+\frac{2}{15} \pi a b^{3} c+\frac{2}{15} \pi a b c^{3}(\text { 见题 } 10)=\frac{2}{15} a b c \pi\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \text {. }
$$
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ．
所以 $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{2}{15} a b c \pi\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：补面构造封闭曲面
由于曲面 $S$ 是椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的下半部分（$z\leq 0$），且积分正向取椭球外侧，故 $S$ 的法向量指向外侧。为使用高斯公式，补上平面 $S': z=0$，其中 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1$，方向向上（即法向量与 $z$ 轴正向一致）。则 $S+S'$ 构成封闭曲面，所围区域记为 $\Omega$，即椭球的下半部分。
提示：注意补面的方向要与原曲面构成封闭曲面的外侧，这里 $S$ 的法向量指向外侧，$S'$ 的法向量应指向 $z$ 轴正向，即向上。
步骤 2/7
目标：应用高斯公式计算第一类曲面积分（第一问）
对于第一问 $\iint_S x^3 \,dy\,dz$，由于 $S'$ 上 $dy\,dz$ 的积分在 $z=0$ 平面上投影面积为0，故 $\iint_{S'} x^3 \,dy\,dz = 0$。由高斯公式，
$$\iint_{S+S'} x^3 \,dy\,dz = \iiint_\Omega \frac{\partial}{\partial x}(x^3) \,dV = \iiint_\Omega 3x^2 \,dV.$$
因此，$\iint_S x^3 \,dy\,dz = \iiint_\Omega 3x^2 \,dV$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P\,dy\,dz = \iiint_\Omega \frac{\partial P}{\partial x} \,dV$
提示：注意高斯公式中，$dy\,dz$ 对应 $P$ 对 $x$ 的偏导。
步骤 3/7
目标：计算三重积分 $\iiint_\Omega x^2 \,dV$
采用广义球坐标变换：令 $x = a r \sin\varphi \cos\theta$, $y = b r \sin\varphi \sin\theta$, $z = c r \cos\varphi$，其中 $r\in[0,1]$, $\theta\in[0,2\pi]$, $\varphi\in[\pi/2,\pi]$（因为下半部分 $z\leq0$ 对应 $\cos\varphi\leq0$，即 $\varphi\in[\pi/2,\pi]$）。雅可比行列式为 $|J| = abc\, r^2 \sin\varphi$。则
$$\iiint_\Omega x^2 \,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_{\pi/2}^\pi d\varphi \int_0^1 (a r \sin\varphi \cos\theta)^2 \cdot abc\, r^2 \sin\varphi \,dr$$
$$= a^3 b c \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \,d\theta \int_{\pi/2}^\pi \sin^3\varphi \,d\varphi \int_0^1 r^4 \,dr.$$
计算各积分：$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \,d\theta = \pi$，$\int_{\pi/2}^\pi \sin^3\varphi \,d\varphi = \int_{\pi/2}^\pi (1-\cos^2\varphi)\sin\varphi \,d\varphi = \left[-\cos\varphi + \frac{\cos^3\varphi}{3}\right]_{\pi/2}^\pi = \frac{2}{3}$，$\int_0^1 r^4 \,dr = \frac{1}{5}$。相乘得 $\iiint_\Omega x^2 \,dV = a^3 b c \cdot \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2\pi}{15} a^3 b c$。
公式：广义球坐标变换及雅可比行列式
提示：注意 $\varphi$ 的取值范围：下半椭球对应 $z\leq0$，即 $\cos\varphi\leq0$，故 $\varphi\in[\pi/2,\pi]$。
步骤 4/7
目标：得到第一问结果
由前两步，$\iint_S x^3 \,dy\,dz = 3 \iiint_\Omega x^2 \,dV = 3 \cdot \frac{2\pi}{15} a^3 b c = \frac{2\pi}{5} a^3 b c$。
提示：注意系数3不要遗漏。
步骤 5/7
目标：应用高斯公式计算第二问
对于第二问 $\iint_S xy^2 \,dy\,dz + yz^2 \,dz\,dx + zx^2 \,dx\,dy$，同样补面 $S'$。在 $S'$ 上，$z=0$，故 $dz=0$，且 $z=0$ 时 $zx^2=0$，$yz^2=0$，但 $xy^2$ 项对应 $dy\,dz$，在 $z=0$ 平面上投影面积为0，所以 $\iint_{S'} (\cdots)=0$。由高斯公式，
$$\iint_{S+S'} xy^2 \,dy\,dz + yz^2 \,dz\,dx + zx^2 \,dx\,dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial}{\partial x}(xy^2) + \frac{\partial}{\partial y}(yz^2) + \frac{\partial}{\partial z}(zx^2) \right) \,dV$$
$$= \iiint_\Omega (y^2 + z^2 + x^2) \,dV.$$
因此，原积分等于 $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \,dV$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dV$
提示：注意被积函数中每一项对应的偏导要正确。
步骤 6/7
目标：计算三重积分 $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \,dV$
利用对称性，$\iiint_\Omega x^2 \,dV = \frac{2\pi}{15} a^3 b c$（已算），同理 $\iiint_\Omega y^2 \,dV = \frac{2\pi}{15} a b^3 c$，$\iiint_\Omega z^2 \,dV = \frac{2\pi}{15} a b c^3$。因此，
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \,dV = \frac{2\pi}{15} a b c (a^2 + b^2 + c^2).$$
公式：三重积分的对称性
提示：注意 $z^2$ 的积分：在广义球坐标下，$z = c r \cos\varphi$，积分结果与 $x^2$ 类似，只需将 $a$ 换成 $c$。
步骤 7/7
目标：得到第二问结果
因此，$\iint_S xy^2 \,dy\,dz + yz^2 \,dz\,dx + zx^2 \,dx\,dy = \frac{2\pi}{15} a b c (a^2+b^2+c^2)$。
提示：注意结果中 $a,b,c$ 的对称性。
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