下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第13题
📝 题目
13．设 $S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。重庆大学 2009）
（2） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．130所示，设 $\Omega$ 是由椭球面所围成的立体：$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ ．由高斯公式得：
（1） $\iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}(1+2 x+2 y+2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4 \pi}{3} a b c .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-334.jpg?height=1154&width=1251&top_left_y=6810&top_left_x=4213}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.130}
\end{figure}
注：由于 $x+y+z$ 的各项是关于坐标平面对称的区域上的奇函数， $\iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（2） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
而 $\displaystyle \iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=a^{2} \iiint_{\Omega}\left(\frac{x}{a}\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{15} \pi a^{3} b c$ ，（见题 10）
所以 $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{12}{5} \pi a b c\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ ．
（3） $\iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
而 $\displaystyle \iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=a^{2} \iiint_{\Omega}\left(\frac{x}{a}\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{15} \pi a^{3} b c$ ，（见题 10）
所以 $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{4}{15} \pi a b c\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$
（4） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(2 x+2 y+2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{3} \pi a b c$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
对于第二型曲面积分，若曲面 $S$ 是封闭曲面且取外侧，则高斯公式给出：
$$\iint_S P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d}V,$$
其中 $\Omega$ 是 $S$ 所围成的区域。本题中 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的外侧，$\Omega$ 为椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1$。
公式：$$\iint_S P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d}V$$
提示：注意高斯公式要求曲面取外侧，且 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 内有一阶连续偏导数。
步骤 2/6
目标：计算第(1)小题的曲面积分
对于(1)：$P = x + x^2$, $Q = y^2$, $R = z^2$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 1 + 2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z.$$
由高斯公式：
$$\iint_S (x+x^2)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega (1+2x+2y+2z)\,\mathrm{d}V.$$
由于 $\Omega$ 关于坐标平面对称，且 $x,y,z$ 是奇函数，故 $\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = \iiint_\Omega y\,\mathrm{d}V = \iiint_\Omega z\,\mathrm{d}V = 0$。因此积分简化为 $\iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}V$，即椭球体积。椭球体积为 $\frac{4}{3}\pi abc$，所以结果为 $\frac{4}{3}\pi abc$。
公式：$$\iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}V = \frac{4}{3}\pi abc$$
提示：利用对称性消去奇函数项可简化计算。注意椭球体积公式。
步骤 3/6
目标：计算第(2)小题的曲面积分
对于(2)：$P = x^3$, $Q = y^3$, $R = z^3$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2.$$
由高斯公式：
$$\iint_S x^3\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y^3\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z^3\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V.$$
需要计算 $\iiint_\Omega x^2\,\mathrm{d}V$，$\iiint_\Omega y^2\,\mathrm{d}V$，$\iiint_\Omega z^2\,\mathrm{d}V$。由对称性，$\iiint_\Omega x^2\,\mathrm{d}V = \frac{4}{15}\pi a^3 bc$，类似地 $\iiint_\Omega y^2\,\mathrm{d}V = \frac{4}{15}\pi ab^3 c$，$\iiint_\Omega z^2\,\mathrm{d}V = \frac{4}{15}\pi abc^3$。因此：
$$3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V = 3\cdot\frac{4}{15}\pi abc(a^2+b^2+c^2) = \frac{12}{5}\pi abc(a^2+b^2+c^2).$$
公式：$$\iiint_\Omega x^2\,\mathrm{d}V = \frac{4}{15}\pi a^3 bc$$
提示：椭球体内 $x^2$ 的三重积分可通过变量替换 $u=x/a, v=y/b, w=z/c$ 化为单位球体内的积分，再利用球坐标计算。
步骤 4/6
目标：计算第(3)小题的曲面积分
对于(3)：$P = xz^2$, $Q = yx^2$, $R = zy^2$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = z^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = x^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = y^2.$$
由高斯公式：
$$\iint_S xz^2\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + yx^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + zy^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V.$$
与(2)中相同，该三重积分等于 $\frac{4}{15}\pi abc(a^2+b^2+c^2)$。
公式：$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V = \frac{4}{15}\pi abc(a^2+b^2+c^2)$$
提示：注意散度计算正确，不要遗漏项。
步骤 5/6
目标：计算第(4)小题的曲面积分
对于(4)：$P = x^2$, $Q = y^2$, $R = z^2$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z.$$
由高斯公式：
$$\iint_S x^2\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\iiint_\Omega (x+y+z)\,\mathrm{d}V.$$
由于 $\Omega$ 关于坐标平面对称，且 $x,y,z$ 是奇函数，故 $\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = \iiint_\Omega y\,\mathrm{d}V = \iiint_\Omega z\,\mathrm{d}V = 0$，因此积分结果为 $0$。
公式：$$\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = 0$$
提示：对称性：椭球体关于三个坐标平面对称，奇函数积分值为零。
步骤 6/6
目标：计算第(5)小题的曲面积分
对于(5)：$P = 0$, $Q = 0$, $R = z$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 1.$$
由高斯公式：
$$\iint_S z\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}V = \frac{4}{3}\pi abc.$$
公式：$$\iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}V = \frac{4}{3}\pi abc$$
提示：注意 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 对应 $R$ 分量，不要混淆。
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