下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第14题
📝 题目
14．设 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=h(h>0)$ 所截部分的外侧，求下列曲面积分．
（1） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，或 $\iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲面外法线的方向余弦．
（2） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（北京工大 2009（h＝1））
（3） $\iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z\right) \cdot($ 北京工大 2010）$(h=1)$
（4） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（ $h=1$ ）
（5） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$(h=1)$
（7） $\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$(h=1)$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.131 所示，添加一片曲面：
$$
S^{\prime}: z=h, x^{2}+y^{2} \leqslant h^{2} \quad(h>0),
$$
$S^{\prime}$ 取上侧．$S+S^{\prime}$ 构成封闭的曲面．记 $S+S^{\prime}$ 所围成的区域为 $\Omega . S$在 $x y$ 平面的投影区域为
$$
D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant h^{2} .
$$
过 $(0,0, z)$ 垂直 $z$ 轴的平面与立体 $\Omega$ 的截面为
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-336.jpg?height=1375&width=1376&top_left_y=1160&top_left_x=4088}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.131}
\end{figure}
$$
D(z): x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} .
$$
在柱面变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z$ 下 $\Omega$ 可表为
$$
0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：添加辅助曲面并确定区域
添加平面 $S': z=h, x^2+y^2 \leq h^2$，取上侧。$S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$。$\Omega$ 在柱面坐标下表示为 $0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r < h, r \leq z \leq h$。$S$ 在 $xy$ 平面投影为 $D_{xy}: x^2+y^2 \leq h^2$。
提示：注意 $S$ 是锥面外侧，$S'$ 是上侧，封闭曲面方向为外侧。
步骤 2/7
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
对于第(1)问，由高斯公式：
$$\iint_{S+S'} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = 2\iiint_\Omega (x+y+z) dV$$
在柱面坐标下计算三重积分：
$$2\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^h r dr \int_r^h (r\cos\theta + r\sin\theta + z) dz = \frac{\pi}{2}h^4$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial\Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意被积函数 $x+y+z$ 在柱面坐标下化为 $r\cos\theta + r\sin\theta + z$，积分时先对 $z$ 积分。
步骤 3/7
目标：计算辅助曲面上的积分
在 $S'$ 上，$z=h$，$dz=0$，且 $x^2 dy dz$ 和 $y^2 dz dx$ 均为0，只有 $z^2 dx dy$ 项：
$$\iint_{S'} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = \iint_{S'} h^2 dx dy = h^2 \cdot \pi h^2 = \pi h^4$$
提示：注意 $S'$ 取上侧，$dx dy$ 的符号为正。
步骤 4/7
目标：相减得到原曲面积分
原积分 $\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$，因此：
$$\iint_S x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = \frac{\pi}{2}h^4 - \pi h^4 = -\frac{\pi}{2}h^4$$
提示：注意符号：封闭曲面积分减去辅助曲面积分得到原积分。
步骤 5/7
目标：重复步骤2-4计算其他小题
类似地，对于第(2)问：
封闭积分：$\iint_{S+S'} x^2 dy dz + y^2 dx dz + z dx dy = \iiint_\Omega (2x+2y+1) dV = \iiint_\Omega 1 dV = \frac{\pi}{3}h^3$（因为 $x,y$ 的积分对称性为0）。
辅助曲面：$\iint_{S'} = \iint_{S'} h dx dy = \pi h^3$。
原积分：$\frac{\pi}{3}h^3 - \pi h^3 = -\frac{2}{3}\pi h^3$。
提示：注意 $2x+2y$ 在对称区域积分为0。
步骤 6/7
目标：继续计算其他小题
第(3)问：封闭积分 $\iint_{S+S'} (x^2 dy dz - 2y dx dz) = \iiint_\Omega (2x-2) dV = -2\iiint_\Omega dV = -\frac{2}{3}\pi h^3$。辅助曲面 $S'$ 上 $x^2 dy dz$ 和 $-2y dx dz$ 均为0，故原积分 $= -\frac{2}{3}\pi h^3$。
第(4)问：封闭积分 $\iint_{S+S'} x dy dz + y dz dx + (z^2-2z) dx dy = \iiint_\Omega (1+1+2z-2) dV = 2\iiint_\Omega z dV = \frac{1}{2}\pi h^4$。辅助曲面 $\iint_{S'} = (h^2-2h)\pi h^2 = \pi h^2(h^2-2h)$。原积分 $= \frac{1}{2}\pi h^4 - \pi h^2(h^2-2h) = -\frac{1}{2}\pi h^4 + 2\pi h^3$。
提示：注意第(4)问中 $z$ 的三重积分计算：$\iiint_\Omega z dV = \int_0^h z \cdot \pi z^2 dz = \frac{\pi}{4}h^4$。
步骤 7/7
目标：完成剩余小题
第(5)问：封闭积分 $\iint_{S+S'} x^2 dy dz - 2xy dz dx + z dx dy = \iiint_\Omega (2x-2x+1) dV = \frac{\pi}{3}h^3$。辅助曲面 $\iint_{S'} = \iint_{S'} h dx dy = \pi h^3$。原积分 $= \frac{\pi}{3}h^3 - \pi h^3 = -\frac{2}{3}\pi h^3$。
第(6)问：封闭积分 $\iint_{S+S'} x dy dz + 2y dz dx + 3(z-1) dx dy = \iiint_\Omega (1+2+3) dV = 6\cdot \frac{\pi}{3}h^3 = 2\pi h^3$。辅助曲面 $S'$ 上 $z=h$，$3(z-1)=3(h-1)$，但注意 $S'$ 上 $dy dz$ 和 $dz dx$ 项为0，$dx dy$ 项积分 $\iint_{S'} 3(h-1) dx dy = 3(h-1)\pi h^2$？实际上原答案中辅助曲面积分为0，可能因为 $S'$ 上 $x$ 和 $y$ 的积分对称性？但这里 $x$ 和 $y$ 的积分确实为0，而 $3(z-1)$ 项：$\iint_{S'} 3(z-1) dx dy = 3(h-1)\pi h^2$，不等于0。检查原答案：它写的是0，可能题目中 $S'$ 取上侧但 $dx dy$ 符号？或者题目中 $S$ 是外侧，$S'$ 上侧，但 $S'$ 的法向量与z轴正向一致，$dx dy$ 为正，所以 $\iint_{S'} 3(z-1) dx dy = 3(h-1)\pi h^2$。但原答案说等于0，可能我理解有误。实际上原答案中第(6)问的辅助曲面积分写为0，可能是由于被积函数中 $x$ 和 $y$ 的积分对称性为0，而 $3(z-1)$ 项？但 $z=h$ 常数，积分不为0。再检查：原答案中第(6)问的封闭积分结果为 $2\pi h^3$，辅助曲面为0，所以原积分为 $2\pi h^3$。但若辅助曲面不为0，则结果不同。可能题目中 $S$ 是锥面，$S'$ 是顶面，但 $S'$ 的法向量方向？题目说 $S$ 为外侧，$S'$ 取上侧，但封闭曲面 $S+S'$ 的外侧应该是 $S$ 的外侧和 $S'$ 的上侧？实际上 $S$ 是锥面外侧，$S'$ 是顶面，封闭曲面外侧应该是 $S$ 的外侧和 $S'$ 的上侧（因为锥面外侧指向外，顶面外侧指向上）。所以 $S'$ 上 $dx dy$ 为正。那么 $\iint_{S'} 3(z-1) dx dy = 3(h-1)\pi h^2$。但原答案写0，可能题目中 $h=1$？因为第(6)问括号里写 $(h=1)$，所以 $h=1$ 时 $3(z-1)=0$，因此辅助曲面为0。所以第(6)问中 $h=1$，故辅助曲面为0。类似地，第(7)问也假设 $h=1$。
第(7)问：封闭积分 $\iint_{S+S'} (x-y+z) dy dz + (y-z+x) dz dx + (z-x+y) dx dy = \iiint_\Omega (1+1+1) dV = 3\cdot \frac{\pi}{3}h^3 = \pi h^3$。辅助曲面 $S'$ 上 $z=1$，$dy dz$ 和 $dz dx$ 项为0，$dx dy$ 项：$\iint_{S'} (1-x+y) dx dy = \iint_{D_{xy}} (1-x+y) dx dy = \pi \cdot 1^2 = \pi$（因为 $x,y$ 的奇函数积分为0）。所以原积分 $= \pi - \pi = 0$。
提示：注意 $h=1$ 的条件，简化计算。
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