下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第15题
📝 题目
15．求下列曲面积分 $\iint_{S}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间曲面的上侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.132 所示，添加一片曲面 $S_{1}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，取下侧．$S+S_{1}$ 构成封闭的曲面，记 $S+S_{1}$ 所围成的区域为 $\Omega . S$ 在 $x y$ 平面的投影区域为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S_{1}}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}(2 x+2 y+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{2}{3} \pi .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-337.jpg?height=1224&width=1334&top_left_y=5435&top_left_x=4316}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.132}
\end{figure}
又 $\quad \iint_{S_{1}}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，所以 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{2}{3} \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析曲面并添加辅助曲面
曲面 $S$ 为 $z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间的部分，取上侧。由于 $S$ 不是封闭曲面，为使用高斯公式，添加辅助曲面 $S_1: z=0, x^{2}+y^{2} \leq 1$，取下侧。则 $S+S_1$ 构成封闭曲面，所围区域记为 $\Omega$。
提示：注意辅助曲面的方向要与原曲面构成封闭曲面的外侧方向一致。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式
设 $P = x^{2} - yz$, $Q = y^{2} - zx$, $R = 2z$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2.$$
由高斯公式，
$$\iint_{S+S_1} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint_{\Omega} (2x+2y+2) \,dV.$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_{\Omega} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式要求曲面取外侧，这里 $S+S_1$ 是封闭曲面的外侧。
步骤 3/5
目标：计算三重积分
由于区域 $\Omega$ 关于 $x$ 和 $y$ 对称，且被积函数 $2x+2y$ 是奇函数，故 $\iiint_{\Omega} 2x \,dV = \iiint_{\Omega} 2y \,dV = 0$。因此
$$\iiint_{\Omega} (2x+2y+2) \,dV = \iiint_{\Omega} 2 \,dV = 2 \cdot \text{体积}(\Omega).$$
$\Omega$ 是圆锥体，底面半径 $1$，高 $1$，体积为 $\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$。所以积分值为 $2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$。
公式：圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
提示：利用对称性简化积分，注意奇函数在对称区域积分为零。
步骤 4/5
目标：计算辅助曲面上的积分
在 $S_1$ 上，$z=0$，取下侧，方向与 $z$ 轴负向一致。由于 $z=0$，则 $dz=0$，所以 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零。$dx\,dy$ 项中 $2z=0$，故整个被积表达式为零。因此
$$\iint_{S_1} (x^{2}-yz) dy dz + (y^{2}-zx) dz dx + 2z dx dy = 0.$$
提示：注意曲面取下侧时，$dxdy$ 的符号为负，但这里被积函数为零，所以不影响。
步骤 5/5
目标：得到原曲面积分结果
由高斯公式，
$$\iint_{S+S_1} = \frac{2\pi}{3}, \quad \iint_{S_1} = 0,$$
所以
$$\iint_{S} = \frac{2\pi}{3} - 0 = \frac{2\pi}{3}.$$
提示：注意原曲面 $S$ 取上侧，与封闭曲面外侧方向一致，因此直接相减即可。
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