下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第16题
📝 题目
16．设 $S$ 为锥 面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $z=1$ 和 $z=2$ 之 间 外 侧 表 面，求 曲 面 积 分 $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.133 所示，补平面 $S^{\prime}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, z=1$ ，方向向下。补平面 $S^{\prime \prime}: x^{2}+y^{2} \leqslant 2^{2}, z=2$ ，方向向上．记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}+S^{\prime \prime}$ 围成的立体．由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S^{+}+S^{-}} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =3 \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+3 \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =3 \int_{1}^{2} \mathrm{~d} z \iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：补面并应用高斯公式
补平面 $S': x^2+y^2 \leq 1, z=1$，方向向下；补平面 $S'': x^2+y^2 \leq 4, z=2$，方向向上。记 $\Omega$ 为 $S+S'+S''$ 围成的立体。由高斯公式得：
$$\iint_{S+S'+S''} x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy = 3 \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dx dy dz.$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dx dy dz$
提示：注意补面的方向要与原曲面构成封闭区域的外侧，这里S是外侧，所以补面S'向下（内侧），S''向上（外侧）。
步骤 2/8
目标：将三重积分分解为两部分
将三重积分分解：
$$3 \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dx dy dz = 3 \iiint_\Omega (x^2+y^2) dx dy dz + 3 \iiint_\Omega z^2 dx dy dz.$$
提示：利用对称性，但这里直接分解计算。
步骤 3/8
目标：计算第一项三重积分
采用柱坐标，先对z积分，再对xy积分。区域$\Omega$由$z=1$到$z=2$，且$\sqrt{x^2+y^2} \leq z$，即$r \leq z$。
$$3 \iiint_\Omega (x^2+y^2) dx dy dz = 3 \int_1^2 dz \iint_{x^2+y^2 \leq z^2} (x^2+y^2) dx dy = 3 \int_1^2 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^z r^2 \cdot r dr = 3 \int_1^2 2\pi \cdot \frac{z^4}{4} dz = \frac{3\pi}{2} \int_1^2 z^4 dz.$$
公式：柱坐标变换：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dxdy=rdrd\theta$
提示：注意被积函数$x^2+y^2=r^2$，面积元$rdrd\theta$，所以积分$r^3$。
步骤 4/8
目标：计算第二项三重积分
类似地，
$$3 \iiint_\Omega z^2 dx dy dz = 3 \int_1^2 z^2 dz \iint_{x^2+y^2 \leq z^2} dx dy = 3 \int_1^2 z^2 \cdot \pi z^2 dz = 3\pi \int_1^2 z^4 dz.$$
提示：注意$\iint_{x^2+y^2 \leq z^2} dx dy = \pi z^2$。
步骤 5/8
目标：合并两项并计算积分值
两项相加：
$$\iint_{S+S'+S''} \cdots = \left(\frac{3\pi}{2} + 3\pi\right) \int_1^2 z^4 dz = \frac{9\pi}{2} \cdot \frac{1}{5}(2^5-1^5) = \frac{9\pi}{2} \cdot \frac{31}{5} = \frac{279\pi}{10}.$$
公式：$\int_1^2 z^4 dz = \frac{2^5-1^5}{5} = \frac{31}{5}$
提示：计算要仔细，避免算术错误。
步骤 6/8
目标：计算补面S'上的积分
在$S'$上，$z=1$，方向向下，法向量与z轴负方向一致，所以$dxdy$为负。由于$S'$在xy平面投影为圆盘$x^2+y^2 \leq 1$，且$dy dz$和$dz dx$项为零（因为$dz=0$），所以：
$$\iint_{S'} x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy = \iint_{S'} 1^3 dx dy = -\iint_{x^2+y^2 \leq 1} dx dy = -\pi.$$
公式：曲面积分投影法：$\iint_S R dx dy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) dx dy$，符号由法向量方向决定。
提示：注意方向向下，所以取负号。
步骤 7/8
目标：计算补面S''上的积分
在$S''$上，$z=2$，方向向上，法向量与z轴正方向一致，所以$dxdy$为正。投影为圆盘$x^2+y^2 \leq 4$，且$dy dz$和$dz dx$项为零：
$$\iint_{S''} x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy = \iint_{S''} 2^3 dx dy = 8 \iint_{x^2+y^2 \leq 4} dx dy = 8 \cdot \pi \cdot 2^2 = 32\pi.$$
提示：注意$z=2$，所以$z^3=8$。
步骤 8/8
目标：由封闭曲面积分减去补面积分得到原积分
原积分 $\iint_S = \iint_{S+S'+S''} - \iint_{S'} - \iint_{S''} = \frac{279\pi}{10} - (-\pi) - 32\pi = \frac{279\pi}{10} + \pi - 32\pi = \frac{279\pi}{10} - 31\pi = \frac{279\pi - 310\pi}{10} = -\frac{31\pi}{10}.$
提示：注意符号：减去补面积分时，因为补面方向与封闭曲面外侧方向相反，所以直接减去即可。
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