下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第18题
📝 题目
18．设 $S$ 是抛物面 $x^{2}+y^{2}=a^{2} z$ 介于平面 $z=0$ 和 $z=b$ 之间部分的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．$b=1$
（2） $\iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$a^{2}=2, b=2$
（3） $\iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$a^{2}=1, b=2$
（4） $\iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。$a^{2}=2, b=2$
（5） $\iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$a^{2}=1, b=h^{2}$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.143 所示，补面 $S^{\prime}: z=b, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2} b$ ，方向向上。 $S^{\prime}+S$ 为一封闭的曲面，所围空间记为 $\Omega . S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2} b$ ，则
$$
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a \sqrt{b}} r \mathrm{~d} r \int_{\frac{1}{a^{2}} r^{2}}^{b} \mathrm{~d} z=\frac{1}{2} \pi a^{2} b^{2} .
$$
由高斯公式得：
（1） $\iint_{S+S^{\prime}} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(z+x^{2}-z-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$.
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-343.jpg?height=1334&width=1085&top_left_y=1630&top_left_x=4455}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．143}
\end{figure}
又 $\displaystyle \quad \iint_{S^{\prime}} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{\mathrm{r}}}-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{2} \iint_{D_{\mathrm{r}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=-\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r^{3} \mathrm{~d} r=-\frac{\pi}{4} a^{4} .
$$
所以 $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{4} \pi a^{4}$ ．
（2） $\iint_{S+S^{\prime}}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=8 \pi$ ．
又 $\quad \iint_{S^{\prime}}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}\left(2+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{v}}\left(2+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{v}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=8 \pi$ ．
所以 $\iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ．
（3） $\iint_{S+S^{\prime}} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(2 z^{2}+z^{2}+1-3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi$ ．
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}(9-8) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{v}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi$ ．
所以 $\iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ．
（4） $\iint_{S+S^{\prime}}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(1-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
又 $\quad \iint_{S^{\prime}}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-2 \iint_{S^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-8 \pi$ ，
所以 $\iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=8 \pi$ ．
（5） $\iint_{S+S^{\prime}}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}\left(3 x^{2}+3 y^{2}+3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+3 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
$$
=3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{h} r^{3} \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{h^{2}} \mathrm{~d} z+3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{h} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{h^{2}} \mathrm{~d} z=\frac{1}{2} \pi h^{6}+\frac{3}{2} \pi h^{4} .
$$
又 $\iint_{S^{\prime}}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}\left(3 h^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{v}}\left(3 h^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left(3 h^{2}+1\right) h^{2} \pi$ ．
所以 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi h^{6}+\frac{3}{2} \pi h^{4}-\left(3 h^{2}+1\right) h^{2} \pi=\frac{1}{2} \pi h^{6}-\frac{3}{2} \pi h^{4}-\pi h^{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：补面构造封闭曲面
由于曲面 $S$ 是抛物面 $x^2+y^2=a^2z$ 介于 $z=0$ 和 $z=b$ 之间的下侧，不封闭。补上平面 $S': z=b, x^2+y^2 \leq a^2b$，方向向上，则 $S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$。
提示：注意曲面方向：$S$ 是下侧，$S'$ 是上侧，封闭曲面外侧方向由高斯公式确定。
步骤 2/6
目标：计算区域体积
区域 $\Omega$ 在柱坐标下表示为：$\theta \in [0,2\pi]$, $r \in [0, a\sqrt{b}]$, $z \in [\frac{r^2}{a^2}, b]$。体积为：
$$\iiint_\Omega dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{a\sqrt{b}} r dr \int_{r^2/a^2}^b dz = \frac{1}{2}\pi a^2 b^2.$$
公式：柱坐标体积元 $dV = r dr d\theta dz$
提示：注意 $z$ 的下限由抛物面方程 $z = (x^2+y^2)/a^2 = r^2/a^2$ 给出。
步骤 3/6
目标：应用高斯公式计算封闭曲面上的积分
对于每个小题，计算 $\iint_{S+S'} P dy dz + Q dz dx + R dx dy$，其中 $P, Q, R$ 由被积表达式给出。高斯公式：
$$\iint_{S+S'} = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV.$$
例如 (1) 中 $P=xz$, $Q=(x^2-z)y$, $R=-x^2z$，散度为 $z + (x^2-z) - x^2 = 0$，故积分为0。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} dV$
提示：计算散度时注意偏导数的正确性，特别是 $Q$ 对 $y$ 的偏导。
步骤 4/6
目标：计算补面 $S'$ 上的积分
在 $S'$ 上，$z=b$ 常数，$dz=0$，且法向量向上，故 $dxdy$ 项为正，$dydz$ 和 $dzdx$ 项为零（因为 $S'$ 垂直于 $z$ 轴，投影到 $yz$ 和 $zx$ 平面面积为0）。因此积分简化为 $\iint_{S'} R(x,y,b) dxdy$，其中 $R$ 是 $dxdy$ 的系数。例如 (1) 中 $R=-x^2z$，代入 $z=b=1$ 得 $-x^2$，积分区域 $D_{xy}: x^2+y^2 \leq a^2$，故
$$\iint_{S'} = \iint_{D_{xy}} -x^2 dxdy = -\frac{1}{2}\iint_{D_{xy}} (x^2+y^2) dxdy = -\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a r^3 dr = -\frac{\pi}{4}a^4.$$
公式：曲面积分投影法：$\iint_S R dxdy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) dxdy$，符号由法向量方向决定。
提示：注意 $S'$ 方向向上，$dxdy$ 项取正号。另外，利用对称性简化积分：$\iint x^2 dxdy = \frac{1}{2}\iint (x^2+y^2) dxdy$。
步骤 5/6
目标：相减得到原曲面 $S$ 上的积分
由 $\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$，代入已得结果。例如 (1) 中 $\iint_{S+S'}=0$，$\iint_{S'} = -\frac{\pi}{4}a^4$，故 $\iint_S = \frac{\pi}{4}a^4$。
提示：注意符号：$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$，因为 $S+S'$ 包含 $S$ 和 $S'$，且方向一致（外侧）。
步骤 6/6
目标：重复步骤3-5处理其余小题
类似地，对每个小题计算散度、补面积分，然后相减。例如 (2) 中散度为 $1+1=2$，体积 $\iiint dV = \frac{1}{2}\pi a^2 b^2$，代入 $a^2=2, b=2$ 得 $8\pi$；补面积分 $\iint_{S'} (2+x^3) dxdy = 2 \cdot \text{面积} = 2 \cdot \pi a^2 b = 8\pi$，故 $\iint_S = 0$。
提示：注意每个小题中 $a$ 和 $b$ 的具体数值，代入计算时要准确。
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