下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第19题
📝 题目
19．设 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}=z$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间的曲面的外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.144 所示，补面 $S^{\prime}: z=1, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，方向向上．$S^{\prime}+S$ 为一封闭的曲面，所围空间记为 $\Omega$ ．在柱面变换下 $\Omega$ 可表为 $0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, r^{2} \leqslant z \leqslant 1 . S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
$$
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{1} \mathrm{~d} z=2 \pi \int_{0}^{1} r\left(1-r^{2}\right) \mathrm{d} r=\frac{\pi}{2} .
$$
由高斯公式得：
（1） $\displaystyle \iint_{S+S^{\prime}}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{3}{2} \pi$.
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-344.jpg?height=1334&width=1113&top_left_y=3840&top_left_x=4406}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.144}
\end{figure}
又 $\quad \iint_{S^{\prime}}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iint_{S^{\prime}}\left(y^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}}\left(y^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{5}{4} \pi
$$
所以 $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{3}{2} \pi-\frac{5}{4} \pi=\frac{1}{4} \pi$ ．
（2） $\iint_{S+S^{\prime}} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(2 y-2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
又 $\displaystyle \quad \iint_{S^{\prime}} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}}-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{2} \iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=-\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=-\frac{1}{4} \pi
$$
所以 $\displaystyle \iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{4} \pi$ ．
（3） $\iint_{S+S^{\prime}} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{1}(r \cos \theta+r \sin \theta+z) \mathrm{d} z$
又
$$
\iint_{S^{\prime}} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi .
$$
所以
$$
\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{3} \pi
$$
（4） $\displaystyle \iint_{S+S^{\prime}} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(3 y^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{2} \pi$ ．
然而
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{2} \sin ^{2} \theta r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{1} \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3}\left(1-r^{2}\right) \mathrm{d} \\
& \iint_{S^{\prime}} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}(y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{\mathrm{v}}}(y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{\mathrm{v}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi,
\end{aligned}
$$
所以
$$
\iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{4} \pi .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：补面构造封闭曲面
曲面 $S$ 为 $x^2+y^2=z$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间的外侧。补面 $S': z=1, x^2+y^2\leq 1$，方向向上。则 $S+S'$ 构成封闭曲面，所围区域记为 $\Omega$，其体积为 $\iiint_\Omega dV = \frac{\pi}{2}$。
公式：体积公式：$\iiint_\Omega dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r dr \int_{r^2}^1 dz = \frac{\pi}{2}$
提示：注意曲面外侧方向与补面方向一致，确保封闭曲面方向向外。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
对于每个积分，利用高斯公式将封闭曲面积分转化为三重积分。例如（1）：$\iint_{S+S'} (z^2+x)dydz+(x^2+y)dzdx+(y^2+z)dxdy = \iiint_\Omega (\frac{\partial}{\partial x}(z^2+x)+\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y)+\frac{\partial}{\partial z}(y^2+z)) dV = \iiint_\Omega 3 dV = \frac{3\pi}{2}$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意被积函数在三个坐标面上的投影方向对应，正确计算散度。
步骤 3/5
目标：计算补面上的积分
补面 $S'$ 上 $z=1$，$dz=0$，且方向向上，故 $dxdy$ 项为正，$dydz$ 和 $dzdx$ 项为零。例如（1）：$\iint_{S'} (z^2+x)dydz+(x^2+y)dzdx+(y^2+z)dxdy = \iint_{S'} (y^2+1)dxdy = \iint_{D_{xy}} (y^2+1)dxdy = \frac{5\pi}{4}$。
公式：投影法：$\iint_{S'} R dxdy = \iint_{D_{xy}} R(x,y,1) dxdy$
提示：注意补面方向与坐标轴正向的关系，确定 $dxdy$ 的符号。
步骤 4/5
目标：相减得到原曲面积分
原曲面积分等于封闭曲面积分减去补面积分。例如（1）：$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'} = \frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$。
提示：注意符号：原曲面外侧与补面方向一致，但补面方向向上，而原曲面在顶部是向下？实际上原曲面 $S$ 是 $x^2+y^2=z$ 的外侧，在顶部 $z=1$ 处，曲面法向量指向下方，而补面向上，所以封闭曲面方向向外，补面方向与封闭曲面一致，因此直接相减。
步骤 5/5
目标：重复步骤2-4计算其余积分
类似地，对于（2）：封闭曲面积分为0，补面积分为 $-\frac{\pi}{4}$，故原积分为 $\frac{\pi}{4}$。对于（3）：封闭曲面积分为 $\frac{2\pi}{3}$，补面积分为 $\pi$，故原积分为 $-\frac{\pi}{3}$。对于（4）：封闭曲面积分为 $\frac{\pi}{4}$，补面积分为 $\pi$，故原积分为 $-\frac{3\pi}{4}$。
公式：三重积分计算：利用柱坐标，注意对称性简化计算。
提示：计算三重积分时，注意被积函数的奇偶性和对称性，可简化计算。
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