下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第20题
📝 题目
20．求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2},(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 取上侧。华东师大 2004 ，四川大学 2010，太原科技 2008，东南大学 2007，西安电子科技 2003／2006）
（2） $\iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ 上侧。中山大学 2014）
（3） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 在第一卦限部分 $(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧。徐州师大 2010，安徽大学 2007）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.145 所示，补面 $S^{\prime}: z=1\left(x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right)$ ，方向取下侧。记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}$ 围成的立体。由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S+S^{\prime}}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =-\iiint_{\Omega}(2+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =-3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{1} \mathrm{~d} z=-\frac{3}{2} \pi
\end{aligned}
$$
又
$$
\iint_{S^{\prime}}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{\mathrm{n}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\pi,
$$
所以 $\displaystyle \iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{2} \pi$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-345.jpg?height=1320&width=1058&top_left_y=5539&top_left_x=4406}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.145}
\end{figure}
（2）如图9．145所示，补面 $S^{\prime}: z=2, x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ ，方向向下。 $S^{\prime}+S$ 为一封闭的曲面，所围空间记为 $\Omega$ ．$S$ 在 $x y$ 平面的投影区域记为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ ．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iiint_{\Omega}(4 z-2 z-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 .
$$
又
$$
\iint_{S^{\prime}} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{\mathrm{n}}}(1-4) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=6 \pi,
$$
所以
$$
\iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-6 \pi
$$
（3）如图 9.146 所示，补面 $S^{\prime}: x=0,0
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：补面构造封闭曲面
对于第一型曲面积分，曲面 $S: z=x^2+y^2, 0\le z\le 1$ 取上侧。补一个平面 $S': z=1, x^2+y^2\le 1$ 取下侧，使得 $S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$。
提示：注意补面的方向要与原曲面构成封闭曲面的外侧或内侧，这里原曲面取上侧，补面应取下侧才能构成封闭曲面的内侧（高斯公式取负号）。
步骤 2/10
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
由高斯公式，有
$$
\iint_{S+S'}(2x+z)dy\,dz+z\,dx\,dy = -\iiint_\Omega \left(\frac{\partial}{\partial x}(2x+z)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(z)\right) dV = -\iiint_\Omega (2+1) dV = -3\iiint_\Omega dV.
$$
计算三重积分：
$$
\iiint_\Omega dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\,dr \int_{r^2}^1 dz = 2\pi \int_0^1 r(1-r^2) dr = 2\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2}.
$$
所以封闭曲面积分为 $-3\cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy\,dz + Q dz\,dx + R dx\,dy = \pm \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$，符号取决于曲面方向。
提示：注意高斯公式中散度项的正确计算，以及三重积分在柱坐标下的转换。
步骤 3/10
目标：计算补面上的积分
在补面 $S': z=1$ 取下侧，其法向量与 $z$ 轴负方向一致，故 $dx\,dy$ 项贡献负号。由于 $S'$ 上 $z=1$ 常数，$dy\,dz$ 项在 $S'$ 上的投影为零（因为 $S'$ 垂直于 $y$ 轴？实际上 $S'$ 是水平面，$dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项在水平面上的积分为零，因为 $x,y$ 变化时 $z$ 不变，$dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 的投影面积为零）。所以
$$
\iint_{S'} (2x+z)dy\,dz + z\,dx\,dy = \iint_{S'} z\,dx\,dy = \iint_{S'} 1\,dx\,dy = -\iint_{D_{xy}} 1\,dx\,dy = -\pi,
$$
其中 $D_{xy}: x^2+y^2\le 1$，面积为 $\pi$。
公式：第二型曲面积分投影法：$\iint_S R\,dx\,dy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\,dx\,dy$，符号由曲面侧决定。
提示：注意补面方向导致符号为负，且只有 $dx\,dy$ 项非零。
步骤 4/10
目标：相减得到原曲面积分
由封闭曲面积分等于原曲面与补面之和，得
$$
\iint_S (2x+z)dy\,dz+z\,dx\,dy = \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - (-\pi) = -\frac{\pi}{2}.
$$
提示：注意符号：封闭曲面积分 = 原曲面 + 补面，所以原曲面 = 封闭曲面积分 - 补面。
步骤 5/10
目标：第二题：补面并应用高斯公式
曲面 $S: z=x^2+y^2, 0\le z\le 2$ 取上侧。补面 $S': z=2, x^2+y^2\le 2$ 取下侧。封闭曲面 $S+S'$ 围成区域 $\Omega$。由高斯公式：
$$
\iint_{S+S'} 4zx\,dy\,dz -2zy\,dz\,dx + (1-z^2)\,dx\,dy = -\iiint_\Omega \left(\frac{\partial}{\partial x}(4zx)+\frac{\partial}{\partial y}(-2zy)+\frac{\partial}{\partial z}(1-z^2)\right) dV = -\iiint_\Omega (4z -2z -2z) dV = 0.
$$
公式：高斯公式
提示：散度计算要仔细：$\frac{\partial}{\partial x}(4zx)=4z$，$\frac{\partial}{\partial y}(-2zy)=-2z$，$\frac{\partial}{\partial z}(1-z^2)=-2z$，和为0。
步骤 6/10
目标：计算补面第二题积分
在补面 $S': z=2$ 取下侧，只有 $dx\,dy$ 项非零：
$$
\iint_{S'} 4zx\,dy\,dz -2zy\,dz\,dx + (1-z^2)\,dx\,dy = \iint_{S'} (1-z^2)\,dx\,dy = \iint_{S'} (1-4)\,dx\,dy = -3 \iint_{D_{xy}} dx\,dy = -3 \cdot 2\pi = -6\pi,
$$
注意取下侧导致 $dx\,dy$ 项符号为负，但这里 $1-z^2$ 本身为负，所以最终为正？检查：$S'$ 取下侧，$dx\,dy$ 的投影公式为 $\iint_{S'} R\,dx\,dy = -\iint_{D_{xy}} R(x,y,2)\,dx\,dy$，所以 $\iint_{S'} (1-4)\,dx\,dy = -\iint_{D_{xy}} (-3)\,dx\,dy = 3\iint_{D_{xy}} dx\,dy = 3\cdot 2\pi = 6\pi$。
公式：投影法
提示：注意补面方向对符号的影响，以及 $D_{xy}$ 是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，面积 $2\pi$。
步骤 7/10
目标：得到第二题原积分
由封闭曲面积分=0，得
$$
\iint_S 4zx\,dy\,dz -2zy\,dz\,dx + (1-z^2)\,dx\,dy = 0 - 6\pi = -6\pi.
$$
提示：注意符号：原积分 = 封闭积分 - 补面积分 = 0 - 6π = -6π。
步骤 8/10
目标：第三题：补三个面并应用高斯公式
曲面 $S: z=x^2+y^2$ 在第一卦限部分，$0\le z\le 1$，取上侧。补三个坐标平面上的面：$S': x=0$（$0\le y\le 1, y^2\le z\le 1$）取正向（与x轴正向相同），$S'': y=0$（$0\le x\le 1, x^2\le z\le 1$）取正向，$S''': z=1$（$x\ge0, y\ge0, x^2+y^2\le 1$）取下侧。封闭曲面 $S+S'+S''+S'''$ 围成区域 $\Omega$。由高斯公式：
$$
\iint_{S+S'+S''+S'''} x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy = -\iiint_\Omega (1+1+1) dV = -3\iiint_\Omega dV.
$$
计算三重积分（柱坐标）：
$$
\iiint_\Omega dV = \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^1 r\,dr \int_{r^2}^1 dz = \frac{\pi}{2} \int_0^1 r(1-r^2) dr = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8}.
$$
所以封闭曲面积分为 $-3\cdot \frac{\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}$。
公式：高斯公式
提示：注意区域 $\Omega$ 在第一卦限，$\theta$ 从0到$\pi/2$。
步骤 9/10
目标：计算三个补面的积分
在 $S'$（$x=0$）上，$dy\,dz$ 项：$x=0$，所以 $x\,dy\,dz=0$；$y\,dx\,dz$ 中 $dx\,dz$ 在 $x=0$ 平面上投影为零（因为 $x$ 常数，$dx=0$）；$z\,dx\,dy$ 中 $dx\,dy$ 在垂直于 $x$ 轴的平面上投影为零。故 $\iint_{S'}=0$。同理 $\iint_{S''}=0$。
在 $S'''$（$z=1$ 取下侧）上，只有 $z\,dx\,dy$ 项非零：
$$
\iint_{S'''} z\,dx\,dy = \iint_{S'''} 1\,dx\,dy = -\iint_{D_{xy}} 1\,dx\,dy = -\frac{\pi}{4},
$$
其中 $D_{xy}: x^2+y^2\le 1, x\ge0, y\ge0$，面积为 $\pi/4$。
公式：投影法
提示：注意 $S'''$ 取下侧导致负号，且只有 $dx\,dy$ 项贡献。
步骤 10/10
目标：得到第三题原积分
由封闭曲面积分等于原曲面与三个补面之和，得
$$
\iint_S x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy = \left(-\frac{3\pi}{8}\right) - (0+0+(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8}.
$$
提示：注意减法：原积分 = 封闭积分 - (S'积分 + S''积分 + S'''积分)。
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