下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第21题
📝 题目
21．求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是曲面 $z=x^{2}+y^{2}+1$ 被平面 $z=2$ 所截得的一块曲面的下侧．
（2） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $z=x^{2}+y^{2}-1$ 在 $z \leqslant 0$ 部分的下侧．
（3） $\iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是 $z=x^{2}+y^{2}, 0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向取外侧。
（4） $\iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $4-y=x^{2}+z^{2}$ 在 $x O z$ 平面的的右侧部分的外侧．
（5） $\iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 由曲面 $y=z^{2}+x^{2}$ 与平面图形 $y=1, y=2$ 围成的有界闭区域的边界外侧．
（6） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $y=x^{2}+z^{2}\left(0 \leqslant y \leqslant h^{2}\right)$ 左侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.147 所示，补面 $S^{\prime}: z=2, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，方向向上．记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}$ 围成的立体．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0
$$
又
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S^{\prime}} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
= & \iint_{S^{\prime}}\left(2 x-2 x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}}\left(2 x-2 x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=-\frac{1}{2} \pi
\end{aligned}
$$
于是
$$
\iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-347.jpg?height=1445&width=1023&top_left_y=2113&top_left_x=1236}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.147}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-347.jpg?height=961&width=1196&top_left_y=2583&top_left_x=3370}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.148}
\end{figure}
（2）如图 9.148 所示，补面 $S^{\prime}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，方向向上．记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}$ 围成的立体．由高斯公式得
$$
\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}-1}^{0} \mathrm{~d} z-0=\pi .
$$
（3）如图 9.149 所示，补面 $S^{\prime}: z=4, x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向向上．记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}$ 围成的立体．由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S^{\prime}}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}(2+2+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=6 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{4} \mathrm{~d} z=48 \pi
\end{aligned}
$$
又
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S^{\prime}}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{S^{\prime}}(8-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}}(8-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=8 \iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=32 \pi,
\end{aligned}
$$
于是
$$
\iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=48 \pi-32 \pi=16 \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-347.jpg?height=1078&width=981&top_left_y=7052&top_left_x=1257}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.149}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-347.jpg?height=1072&width=1017&top_left_y=7058&top_left_x=3577}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.150}
\end{figure}
（4）如图9．150所示，补面 $\Sigma_{1}: y=0, x^{2}+z^{2} \leqslant 4$ ，方向为 $y$ 轴的负方向。 $\Omega$ 为曲面 $\Sigma$ 和 $\Sigma_{1}$ 形成的几何体．
$$
\iint_{\Sigma_{1}} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
从而
$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_{1}} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{4} \mathrm{~d} y \iint_{x^{2}+z^{2}<4-y}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=\int_{0}^{4} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\sqrt{4-y}} r^{2} r \mathrm{~d} r=\frac{32}{3} \pi .
\end{aligned}
$$
（5）如图9．151所示，由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
= & \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
= & \int_{1}^{2} y^{2} \mathrm{~d} y \iint_{z^{2}+x^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：补面并应用高斯公式
补上平面 $S': z=2, x^2+y^2 \leq 1$，方向向上。记 $\Omega$ 为 $S+S'$ 围成的立体。由高斯公式，
$$
\iint_{S+S'} dy dz + (x^2 y -1) dz dx + (2x - x^2 z) dx dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial}{\partial x}(1) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y -1) + \frac{\partial}{\partial z}(2x - x^2 z) \right) dV = \iiint_\Omega (0 + x^2 - x^2) dV = 0.
$$
公式：高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意曲面方向：S是下侧，补面S'取上侧，使得整体外侧。
步骤 2/3
目标：计算补面上的积分
在 $S'$ 上，$z=2$，$dz=0$，且法向量向上，故 $dxdy$ 前的符号为正。
$$
\iint_{S'} dy dz + (x^2 y -1) dz dx + (2x - x^2 z) dx dy = \iint_{S'} (2x - 2x^2) dx dy = \iint_{D_{xy}} (2x - 2x^2) dx dy,
$$
其中 $D_{xy}: x^2+y^2 \leq 1$。利用对称性，$\iint_{D_{xy}} 2x dx dy = 0$，而 $\iint_{D_{xy}} 2x^2 dx dy = 2 \iint_{D_{xy}} x^2 dx dy$。用极坐标：
$$
\iint_{D_{xy}} x^2 dx dy = \int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta \int_0^1 r^3 dr = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4},
$$
所以 $\iint_{S'} = -2 \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$。
公式：极坐标变换：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dxdy = r dr d\theta$
提示：注意 $2x-2x^2$ 中 $2x$ 的积分为0，但 $2x^2$ 需计算。
步骤 3/3
目标：得到原曲面积分结果
由高斯公式，$\iint_{S+S'} = 0$，故
$$
\iint_S = -\iint_{S'} = -\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}.
$$
提示：注意符号：原积分S是下侧，补面S'是上侧，整体外侧，所以原积分等于负的补面积分。
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