下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第22题
📝 题目
22．求第二型曲面积分 $\iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}$ 在 $0 \leqslant z \leqslant 1$ 部分的上侧。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.153 所示，补面：$\displaystyle S^{\prime}: z=0, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1$ ，取下侧．记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}$ 围成的立体，其在 $x O y$ 平面的投影区域记为 $\displaystyle D_{x y}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1$ ．由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S^{\prime}} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}(z+2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =3 \int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z \iint_{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}<1-z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=6 a \pi \int_{0}^{1} z(1-z) \mathrm{d} z=a \pi
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-349.jpg?height=1231&width=1224&top_left_y=1353&top_left_x=4323}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．153}
\end{figure}
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} 3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{\mathrm{r}}} 3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，
于是 $\quad \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=a \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲面与补面
曲面 $S$ 为 $z=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$ 在 $0\le z\le 1$ 部分的上侧。由于曲面不封闭，需补面 $S'$：$z=0$，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}\le 1$，取下侧。记 $\Omega$ 为 $S+S'$ 围成的立体。
提示：注意补面的方向：取下侧，因为原曲面为上侧，补面后形成封闭曲面外侧。
步骤 2/7
目标：应用高斯公式
对封闭曲面 $S+S'$ 应用高斯公式：
$$\iint_{S+S'} xz\,dy\,dz+2zy\,dz\,dx+3xy\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial}{\partial x}(xz)+\frac{\partial}{\partial y}(2zy)+\frac{\partial}{\partial z}(3xy)\right) dx\,dy\,dz$$
计算散度：$\frac{\partial}{\partial x}(xz)=z$，$\frac{\partial}{\partial y}(2zy)=2z$，$\frac{\partial}{\partial z}(3xy)=0$，故散度为 $3z$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dx\,dy\,dz$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，这里 $S+S'$ 取外侧（$S$ 上侧，$S'$ 下侧构成外侧）。
步骤 3/7
目标：计算三重积分
$$\iiint_\Omega 3z\,dx\,dy\,dz = 3\int_0^1 z\,dz \iint_{D(z)} dx\,dy$$
其中 $D(z)$ 为 $\Omega$ 在 $z$ 处的截面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}\le 1-z$，面积为 $\pi a\cdot 2\cdot (1-z)=2\pi a(1-z)$（椭圆面积公式 $\pi \cdot a \cdot 2$ 再乘以 $(1-z)$ 缩放因子）。
公式：椭圆面积：$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}\le 1$ 面积为 $\pi AB$
提示：注意截面椭圆的长半轴为 $a\sqrt{1-z}$，短半轴为 $2\sqrt{1-z}$，面积 $\pi\cdot a\sqrt{1-z}\cdot 2\sqrt{1-z}=2\pi a(1-z)$。
步骤 4/7
目标：积分计算
$$3\int_0^1 z\cdot 2\pi a(1-z)\,dz = 6\pi a\int_0^1 (z-z^2)\,dz = 6\pi a\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}\right]_0^1 = 6\pi a\left(\frac12-\frac13\right)=6\pi a\cdot\frac16 = \pi a$$
提示：计算定积分时注意上下限和系数。
步骤 5/7
目标：计算补面上的积分
在 $S'$ 上，$z=0$，取下侧，故 $dz=0$，$dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零，只有 $dx\,dy$ 项：
$$\iint_{S'} xz\,dy\,dz+2zy\,dz\,dx+3xy\,dx\,dy = \iint_{S'} 3xy\,dx\,dy$$
由于 $S'$ 取下侧，$dx\,dy$ 的符号与 $z$ 轴方向相反，故 $\iint_{S'} 3xy\,dx\,dy = -\iint_{D_{xy}} 3xy\,dx\,dy$，其中 $D_{xy}: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}\le 1$。
公式：第二型曲面积分投影转换：$\iint_S R\,dx\,dy = \pm\iint_{D_{xy}} R\,dx\,dy$，上侧取正，下侧取负
提示：注意补面方向为下侧，所以 $dx\,dy$ 前取负号。
步骤 6/7
目标：计算二重积分
$$\iint_{D_{xy}} 3xy\,dx\,dy$$
由于 $D_{xy}$ 关于 $x$ 和 $y$ 轴对称，且被积函数 $xy$ 是奇函数（关于 $x$ 或 $y$ 的奇函数），积分区域对称，故积分为零。因此 $\iint_{S'} = 0$。
公式：对称性：若区域关于 $x$ 轴对称，被积函数关于 $y$ 为奇函数，则积分为零
提示：注意检查对称性：$D_{xy}$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴均对称，$xy$ 对 $x$ 是奇函数，对 $y$ 也是奇函数。
步骤 7/7
目标：得出原积分结果
由高斯公式，$\iint_{S+S'} = \pi a$，且 $\iint_{S'} = 0$，故
$$\iint_S xz\,dy\,dz+2zy\,dz\,dx+3xy\,dx\,dy = \pi a$$
提示：注意原积分是 $S$ 上侧，补面后整体外侧，结果正确。
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