下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第26题
📝 题目
26．设 $S$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\mathrm{e}^{y} \\ x=0\end{array}(0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．160所示，补面 $S^{\prime}: z=\mathrm{e}^{a}, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ ，方向向上。记 $\Omega$ 为 $S+S^{\prime}$ 围成的立体，$S+S^{\prime}$ 在 $x O y$ 平面的投影区域为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ ．由高斯公式得：
（1） $\iint_{S+S^{\prime}} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}(4 z-2 z+1-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{1}^{\mathrm{e}^{a}} \mathrm{~d} z \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r \mathrm{~d} r=\pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{a}-1\right) .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-353.jpg?height=1555&width=1244&top_left_y=2224&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.160}
\end{figure}
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iint_{S^{\prime}}\left(\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{2 a}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left(\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{2 a}\right) \iint_{D_{\mathrm{n}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{2 a}\right),
$$
于是 $\iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{a}-1\right)-\pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{2 a}\right)=\pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right)$ ．
（2） $\iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
\begin{aligned}
& =\iiint_{\Omega}(4 z-2 z-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{S^{\prime}} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =0-\iint_{S^{\prime}}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{n}}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\pi a^{2}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right)
\end{aligned}
$$
（3） $\iint_{S}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
\begin{aligned}
& =\iiint_{\Omega}(-3 z+z+2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{S^{\prime}}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =0-\iint_{S^{\prime}}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{\mathrm{xy}}}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi a^{2}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right)
\end{aligned}
$$
（4） $\iint_{S+S^{\prime}} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(0-2 z-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-4 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r \mathrm{~d} r \int_{1}^{\mathrm{e}^{a}} z \mathrm{~d} z$
$$
=-4 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} r \mathrm{~d} r \int_{1}^{\mathrm{e}^{a}} z \mathrm{~d} z=-2 \pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right) .
$$
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{\mathrm{o}}}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi a^{2}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right)$ ，
于是
$$
\iint_{S} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right)-\pi a^{2}\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right)=-\pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析曲面与补面
曲线 $\begin{cases} z = e^y \\ x = 0 \end{cases} (0
提示：注意旋转曲面的方程推导，以及补面的方向要与原曲面构成封闭区域的外侧。
步骤 2/8
目标：应用高斯公式计算（1）的封闭曲面积分
对于（1），被积函数为 $P=4zx$, $Q=-2yz$, $R=z-z^2$。由高斯公式：
$$\iint_{S+S'} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$
计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=4z$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=-2z$, $\frac{\partial R}{\partial z}=1-2z$，总和为 $4z-2z+1-2z=1$。
因此
$$\iiint_\Omega 1 dV = \int_{z=1}^{e^a} dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a r dr = \pi a^2 (e^a-1)$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意散度计算要正确，三重积分用柱坐标。
步骤 3/8
目标：计算补面S'上的积分（1）
在 $S'$ 上，$z=e^a$ 常数，$dz=0$，且 $S'$ 方向向上，法向量与 $z$ 轴正向一致，故 $dxdy$ 前为正。由于 $x$ 和 $y$ 在 $S'$ 上变化，但 $P$ 和 $Q$ 项中 $dy dz$ 和 $dz dx$ 在 $S'$ 上为零（因为 $dz=0$），所以只有 $R$ 项贡献：
$$\iint_{S'} R dx dy = \iint_{S'} (z-z^2) dx dy = (e^a - e^{2a}) \iint_{D_{xy}} dx dy = \pi a^2 (e^a - e^{2a})$$
提示：注意补面方向与坐标轴正向的关系，确定 $dxdy$ 的符号。
步骤 4/8
目标：得到（1）的结果
由高斯公式，$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$，所以
$$\iint_S = \pi a^2 (e^a-1) - \pi a^2 (e^a - e^{2a}) = \pi a^2 (e^{2a}-1)$$
提示：注意符号：封闭曲面积分减去补面曲面积分得到原曲面积分。
步骤 5/8
目标：计算（2）的封闭曲面积分
对于（2），$P=4zx$, $Q=-2zy$, $R=1-z^2$。散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=4z$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=-2z$, $\frac{\partial R}{\partial z}=-2z$，总和为 $4z-2z-2z=0$。因此
$$\iint_{S+S'} = 0$$
提示：散度为零，封闭曲面积分为零。
步骤 6/8
目标：计算补面S'上的积分（2）
在 $S'$ 上，$z=e^a$，$dz=0$，只有 $R$ 项贡献：$R=1-e^{2a}$。所以
$$\iint_{S'} = \iint_{S'} (1-e^{2a}) dx dy = (1-e^{2a}) \pi a^2$$
提示：注意 $R$ 的表达式。
步骤 7/8
目标：得到（2）的结果
$$\iint_S = 0 - (1-e^{2a})\pi a^2 = -\pi a^2 (1-e^{2a}) = \pi a^2 (e^{2a}-1)$$
提示：注意负号。
步骤 8/8
目标：计算（3）和（4）
类似地，对于（3）：$P=y^2-3zx$, $Q=zy$, $R=z^2-1$，散度 $=-3z+z+2z=0$，补面积分 $\iint_{S'} = (e^{2a}-1)\pi a^2$，故 $\iint_S = - (e^{2a}-1)\pi a^2 = \pi a^2 (1-e^{2a})$。
对于（4）：$P=4z$, $Q=-2zy$, $R=1-z^2$，散度 $=0-2z-2z=-4z$，封闭曲面积分 $\iiint_\Omega -4z dV = -4 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a r dr \int_1^{e^a} z dz = -2\pi a^2 (e^{2a}-1)$，补面积分 $\iint_{S'} = (1-e^{2a})\pi a^2$，故 $\iint_S = -2\pi a^2 (e^{2a}-1) - (1-e^{2a})\pi a^2 = -\pi a^2 (e^{2a}-1)$。
提示：注意（4）的散度不为零，需计算三重积分。
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