下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第27题
📝 题目
27．设 $S$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1} \\ y=0\end{array} \quad(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $x$ 轴旋转面成的旋转曲面，$S$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$ 与 $x$ 轴的夹角 $\displaystyle \theta>\frac{\pi}{2}$ ．求下列积分．
（1） $\iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.161 所示，由题意，曲面 $S$ 为 $x=y^{2}+z^{2}+1,(1 \leqslant x \leqslant 3)$ ，方向与 $x$ 轴的夹角 $\displaystyle \theta>\frac{\pi}{2}$ ．补充 $S^{\prime}: x=3, y^{2}+z^{2} \leqslant 2$ ，方向与 $x$ 轴正向相同．设 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域．
$$
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}+1}^{3} \mathrm{~d} x=2 \pi
$$
由高斯公式得：
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-354.jpg?height=1355&width=1237&top_left_y=2548&top_left_x=4158}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．161}
\end{figure}
（1） $\iint_{S+S^{\prime}}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}(-2 x+4 x+1-2 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi
$$
又 $\quad \iint_{S^{\prime}}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{\mathrm{s}}}\left(1-3^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y=-16 \pi$ ，
于是 $\quad \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi+16 \pi=18 \pi$ ．
（2） $\iint_{S+S^{\prime}}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(1+4 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi+4 \iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
$$
\begin{aligned}
& 4 \iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \int_{1}^{3} x \mathrm{~d} x \iint_{D(x)} \mathrm{d} z \mathrm{~d} y=4 \pi \int_{1}^{3} x(x-1) \mathrm{d} x=\frac{56}{3} \pi \\
& \iint_{S^{\prime}}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{r z}}\left(1-3^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y=-16 \pi
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle \quad \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi+16 \pi+\frac{56}{3} \pi=\frac{110}{3} \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析曲面方程与方向
由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1} \\ y=0\end{array}\right.$ ($1\le x\le 3$) 绕 $x$ 轴旋转，得旋转曲面 $S$ 的方程为 $x=y^2+z^2+1$，其中 $1\le x\le 3$。法向量与 $x$ 轴夹角 $\theta>\frac{\pi}{2}$，说明法向量指向 $x$ 轴负向，即曲面方向为内侧（指向 $x$ 减小方向）。
提示：注意旋转曲面方程的正确推导，以及法向量方向与夹角的关系。
步骤 2/8
目标：补充曲面并应用高斯公式
为使用高斯公式，补充平面 $S': x=3, y^2+z^2\le 2$，方向取与 $x$ 轴正向相同（即外侧）。设 $\Omega$ 为 $S$ 与 $S'$ 所围成的空间区域，则 $\Omega$ 为 $1\le x\le 3$，$y^2+z^2\le x-1$。计算 $\Omega$ 的体积：
$$\iiint_\Omega \mathrm{d}V = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{2}} r\mathrm{d}r\int_{r^2+1}^3 \mathrm{d}x = 2\pi.$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial\Omega} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$
提示：注意补充曲面的方向要与原曲面构成封闭区域的外侧。
步骤 3/8
目标：计算第一问中封闭曲面的高斯积分
对于第一问，被积表达式为 $(1-x^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}y + y(4x+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}z - 2xz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，对应 $P=1-x^2$, $Q=y(4x+1)$, $R=-2xz$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = -2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=4x+1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=-2x,$$
散度和为 $-2x+4x+1-2x=1$。因此
$$\iint_{S+S'} = \iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}V = 2\pi.$$
提示：正确计算偏导数，注意符号。
步骤 4/8
目标：计算第一问中补充曲面上的积分
在 $S'$ 上，$x=3$，$\mathrm{d}x=0$，法向量与 $x$ 轴正向相同，故 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 的符号为正（因为 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \cos\alpha \mathrm{d}S$，$\cos\alpha=1$）。被积函数中 $y(4x+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}z$ 和 $-2xz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 因 $\mathrm{d}x=0$ 而为零，只剩 $(1-x^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}y = (1-9)\mathrm{d}z\mathrm{d}y = -8\mathrm{d}z\mathrm{d}y$。积分区域 $D_{yz}: y^2+z^2\le 2$，面积为 $2\pi$，故
$$\iint_{S'} = -8 \times 2\pi = -16\pi.$$
提示：注意 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 在 $S'$ 上的符号，因为法向量指向 $x$ 正向，所以 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 为正。
步骤 5/8
目标：得出第一问结果
由 $\iint_{S+S'} = 2\pi$ 和 $\iint_{S'} = -16\pi$，得
$$\iint_S = 2\pi - (-16\pi) = 18\pi.$$
提示：注意符号：$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'}$。
步骤 6/8
目标：计算第二问中封闭曲面的高斯积分
第二问被积表达式为 $(1-x^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}y + y(8x+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}z - 2xz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，对应 $P=1-x^2$, $Q=y(8x+1)$, $R=-2xz$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = -2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=8x+1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=-2x,$$
散度和为 $-2x+8x+1-2x = 4x+1$。因此
$$\iint_{S+S'} = \iiint_\Omega (4x+1)\mathrm{d}V = \iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}V + 4\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = 2\pi + 4\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V.$$
提示：注意散度计算与第一问的区别。
步骤 7/8
目标：计算三重积分 $\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V$
采用先二后一法：$\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = \int_1^3 x\,\mathrm{d}x \iint_{D(x)} \mathrm{d}y\mathrm{d}z$，其中 $D(x): y^2+z^2\le x-1$，面积为 $\pi(x-1)$。故
$$\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = \int_1^3 x\cdot\pi(x-1)\,\mathrm{d}x = \pi\int_1^3 (x^2-x)\,\mathrm{d}x = \pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \pi\left(\frac{27}{3}-\frac{9}{2} - \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) = \frac{14}{3}\pi.$$
因此 $4\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}V = \frac{56}{3}\pi$。
提示：注意积分限和面积公式的正确使用。
步骤 8/8
目标：计算第二问中补充曲面上的积分并得出结果
补充曲面 $S'$ 上的积分与第一问相同，因为 $x=3$ 且被积函数中 $y(8x+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}z$ 和 $-2xz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 为零，$(1-x^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}y = -8\mathrm{d}z\mathrm{d}y$，积分得 $-16\pi$。因此
$$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'} = \left(2\pi + \frac{56}{3}\pi\right) - (-16\pi) = 2\pi + \frac{56}{3}\pi + 16\pi = \frac{110}{3}\pi.$$
提示：注意第二问中封闭曲面积分包含 $4\iiint x\,\mathrm{d}V$，不要遗漏。
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