下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第28题
📝 题目
28．求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（2） $\iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。其中 $S$ 是曲线 $x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的曲面的外侧．
（3） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是 $y O z$ 平面中的曲线 $y=z^{2}$ 线绕 $y$ 轴所生成的旋转曲面在 $0 \leqslant y \leqslant 1$ 的部分的外侧．
（4） $\iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{z^{2}+1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant z \leqslant 2)\right.$ 绕 $z$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.162 所示，由题意，曲面 $S$ 为 $y=x^{2}+z^{2}+1,(1 \leqslant y \leqslant 3)$ ，方向取外侧．补充 $S^{\prime}: y=3, x^{2}+z^{2} \leqslant 2$ ，方向与 $y$ 轴正向相同．设 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(8 y+1-4 y-4 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi
$$
又 $\quad \iint_{S^{\prime}} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} 2\left(1-3^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=2\left(1-3^{2}\right) \iint_{D_{z z}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-32 \pi$ ，
于是 $\iint_{S^{\prime}} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi+32 \pi=34 \pi$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-355.jpg?height=1472&width=1244&top_left_y=4282&top_left_x=1174}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.162}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-355.jpg?height=1472&width=1237&top_left_y=4282&top_left_x=3612}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.163}
\end{figure}
（2）如图 9.163 所示，由题意得 $S: x=\mathrm{e}^{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}, y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}$ ，方向与 $x$ 轴成钝角．补充 $S^{\prime}: x=\mathrm{e}^{a}, y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}$ ，方向取 $x$ 轴正向．设 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(-4 x+8 x-4 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0
$$
于是 $\quad \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{S^{\prime}} 2\left(1-\mathrm{e}^{2 a}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=2 \pi a^{2}\left(\mathrm{e}^{2 a}-1\right)$ ．
（3）如图 9.164 所示，由题意，曲面 $S$ 为 $y=z^{2}+x^{2}, 0 \leqslant y \leqslant 1$ ，方向与 $y$ 轴成钝角．补充 $S^{\prime}: y=1, y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，方向取 $y$ 轴正向．设 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{1} \mathrm{~d} y=\frac{3}{2} \pi
$$
又
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=\pi \\
& \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{3}{2} \pi-\pi=\frac{1}{2} \pi
\end{aligned}
$$
故
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-356.jpg?height=1134&width=1161&top_left_y=2058&top_left_x=856}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．164}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-356.jpg?height=1521&width=1866&top_left_y=1671&top_left_x=2956}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.165}
\end{figure}
（4）如图 9.165 所示，由题意，曲面 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1,1 \leqslant z \leqslant 2$ ，方向向内。补充 $S^{\prime}: z=1, y^{2}+x^{2} \leqslant 2$ ，方向向上，$S^{\prime \prime}: z=2, y^{2}+x^{2} \leqslant 5$ ，方向向下。设 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}+S^{\prime \prime}$ 所围的空间区域．
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S^{\prime}} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 \\
& \iint_{S^{*}} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{*}} \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
\end{aligned}
$$
由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =-\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{S^{\prime}+S^{\prime}} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-0 \\
& =-\int_{1}^{2} z^{2} \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\pi \int_{1}^{2} z^{2}\left(1+z^{2}\right) \mathrm{d} z=-\frac{128}{15} \pi
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲面方程和方向
曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转，得到旋转曲面方程：$x^2+z^2 = y-1$，即 $y = x^2+z^2+1$，其中 $1 \leqslant y \leqslant 3$。法向量与 $y$ 轴正向夹角大于 $\frac{\pi}{2}$，说明法向量指向 $y$ 轴负向，故曲面方向为内侧（指向 $y$ 减小方向）。
提示：注意旋转曲面方程的推导：绕y轴旋转，将z换成$\sqrt{x^2+z^2}$。
步骤 2/5
目标：补充平面构造封闭曲面
补充平面 $S': y=3$，$x^2+z^2 \leqslant 2$，方向取与 $y$ 轴正向相同（即上侧）。则 $S+S'$ 构成封闭曲面，方向为外侧（$S$ 内侧，$S'$ 上侧，整体外侧）。
提示：补充平面时注意方向，使得封闭曲面外侧一致。
步骤 3/5
目标：应用高斯公式计算三重积分
设 $\Omega$ 为 $S+S'$ 所围区域。由高斯公式：
$$\iint_{S+S'} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
其中 $P=x(8y+1)$，$Q=2(1-y^2)$，$R=-4yz$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x}=8y+1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=-4y,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=-4y$$
散度和为 $8y+1-4y-4y=1$。故
$$\iiint_\Omega 1\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \text{体积} = \int_{y=1}^{3} \pi (y-1)\,\mathrm{d}y = \pi \left[\frac{1}{2}(y-1)^2\right]_1^3 = 2\pi$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$
提示：注意散度计算要准确，积分区域是旋转抛物面围成的立体，体积可用切片法。
步骤 4/5
目标：计算补充平面上的曲面积分
在 $S'$ 上，$y=3$，$\mathrm{d}y=0$，法向量向上，故 $\mathrm{d}z\mathrm{d}x = \mathrm{d}S$ 正。积分简化为：
$$\iint_{S'} 2(1-3^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x = 2(1-9)\iint_{D} \mathrm{d}z\mathrm{d}x = -16 \times \text{面积}$$其中 $D: x^2+z^2 \leqslant 2$，面积为 $2\pi$，故积分值为 $-16 \times 2\pi = -32\pi$。
提示：注意在 $S'$ 上 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 和 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 项为零，只有 $\mathrm{d}z\mathrm{d}x$ 项。
步骤 5/5
目标：利用封闭曲面结果求原积分
由高斯公式：$\iint_{S+S'} = 2\pi$，而 $\iint_{S'} = -32\pi$，故
$$\iint_S = \iint_{S+S'} - \iint_{S'} = 2\pi - (-32\pi) = 34\pi$$
提示：注意符号：原曲面 $S$ 方向为内侧，而高斯公式要求外侧，所以 $S$ 的方向与封闭曲面外侧相反，但这里补充平面后整体外侧，$S$ 本身是内侧，因此 $\iint_S$ 等于封闭曲面积分减去补充平面上的积分。
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