下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第29题
📝 题目
29．设 $S$ 为平行六面体 $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的边界的外表面，求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。聊城大学 2014，浙江大学 2011，华侨大学 2012，首都师大 2003，中南大学 2010，上海理 I 2008）
（3） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．166所示，设 $V$ 是 $S$ 所围的空间区域．由高斯公式得
（1） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=2 \iiint_{V}(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{a}(x+y+z) \mathrm{d} z=3 a^{4} .
$$
（2） $\iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{V}(y+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{a}(y+x) \mathrm{d} z=a^{4} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-357.jpg?height=1583&width=1424&top_left_y=897&top_left_x=4206}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.166}
\end{figure}
（3） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{V} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 a^{3}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\dot{y} x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{V}(z+x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{a}(x+y+z) \mathrm{d} z=\frac{3}{2} a^{4}$ ．
（5） $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{V}\left(z^{2}+x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=9 \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 a^{5}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用高斯公式
对于第二型曲面积分，若曲面 $S$ 是封闭的，且 $P, Q, R$ 在 $S$ 所围区域 $V$ 内具有一阶连续偏导数，则高斯公式给出：
$$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz.$$
本题中 $S$ 是立方体 $[0,a]\times[0,a]\times[0,a]$ 的边界曲面，取外侧，满足高斯公式条件。
公式：高斯公式：$\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V (\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R)\,dV$
提示：注意曲面取外侧，高斯公式要求封闭曲面且方向向外。
步骤 2/6
目标：计算第(1)题：被积函数 $P=x^2, Q=y^2, R=z^2$
计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z.$$
所以
$$\iint_S x^2\,dy\,dz + y^2\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy = \iiint_V (2x+2y+2z)\,dV = 2\iiint_V (x+y+z)\,dV.$$
计算三重积分：
$$\iiint_V (x+y+z)\,dV = \int_0^a\int_0^a\int_0^a (x+y+z)\,dz\,dy\,dx = \int_0^a\int_0^a \left[ (x+y)z + \frac{z^2}{2} \right]_{z=0}^a dy\,dx = \int_0^a\int_0^a \left( a(x+y) + \frac{a^2}{2} \right) dy\,dx.$$
先对 $y$ 积分：
$$\int_0^a \left( a(x+y) + \frac{a^2}{2} \right) dy = \left[ a\left( xy + \frac{y^2}{2} \right) + \frac{a^2}{2}y \right]_{y=0}^a = a\left( xa + \frac{a^2}{2} \right) + \frac{a^2}{2}a = a^2 x + \frac{a^3}{2} + \frac{a^3}{2} = a^2 x + a^3.$$
再对 $x$ 积分：
$$\int_0^a (a^2 x + a^3)\,dx = \left[ \frac{a^2 x^2}{2} + a^3 x \right]_{x=0}^a = \frac{a^4}{2} + a^4 = \frac{3}{2}a^4.$$
乘以2得 $3a^4$。
提示：三重积分计算时注意积分次序，先对z再对y再对x，积分限均为0到a。
步骤 3/6
目标：计算第(2)题：被积函数 $P=y(x-z), Q=x^2, R=y^2+zx$
计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = y,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = x.$$
所以
$$\iint_S y(x-z)\,dy\,dz + x^2\,dz\,dx + (y^2+zx)\,dx\,dy = \iiint_V (y + 0 + x)\,dV = \iiint_V (x+y)\,dV.$$
计算三重积分：
$$\iiint_V (x+y)\,dV = \int_0^a\int_0^a\int_0^a (x+y)\,dz\,dy\,dx = \int_0^a\int_0^a (x+y) a\,dy\,dx = a\int_0^a\int_0^a (x+y)\,dy\,dx.$$
先对 $y$ 积分：
$$\int_0^a (x+y)\,dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^a = xa + \frac{a^2}{2}.$$
再对 $x$ 积分：
$$a\int_0^a \left( xa + \frac{a^2}{2} \right) dx = a\left[ \frac{a x^2}{2} + \frac{a^2}{2}x \right]_{x=0}^a = a\left( \frac{a^3}{2} + \frac{a^3}{2} \right) = a \cdot a^3 = a^4.$$
提示：注意 $P$ 对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数，$x$ 的系数为 $y$。
步骤 4/6
目标：计算第(3)题：被积函数 $P=x, Q=y, R=z$
计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 1,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 1.$$
所以
$$\iint_S x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy = \iiint_V (1+1+1)\,dV = 3\iiint_V dV = 3 \cdot a^3 = 3a^3.$$
提示：注意 $y\,dx\,dz$ 对应 $Q$，高斯公式中 $Q$ 的偏导是对 $y$ 求。
步骤 5/6
目标：计算第(4)题：被积函数 $P=xz, Q=yx, R=zy$
计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = z,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = x,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = y.$$
所以
$$\iint_S xz\,dy\,dz + yx\,dz\,dx + zy\,dx\,dy = \iiint_V (z + x + y)\,dV = \iiint_V (x+y+z)\,dV.$$
与第(1)题中三重积分相同，结果为 $\frac{3}{2}a^4$。
提示：注意 $P=xz$ 对 $x$ 求偏导得 $z$，$Q=yx$ 对 $y$ 求偏导得 $x$，$R=zy$ 对 $z$ 求偏导得 $y$。
步骤 6/6
目标：计算第(5)题：被积函数 $P=x^3, Q=y^3, R=z^3$
计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2.$$
所以
$$\iint_S x^3\,dy\,dz + y^3\,dz\,dx + z^3\,dx\,dy = \iiint_V (3x^2+3y^2+3z^2)\,dV = 3\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\,dV.$$
由对称性，$\iiint_V x^2\,dV = \iiint_V y^2\,dV = \iiint_V z^2\,dV$，所以
$$\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\,dV = 3\iiint_V x^2\,dV.$$
计算 $\iiint_V x^2\,dV$：
$$\iiint_V x^2\,dV = \int_0^a\int_0^a\int_0^a x^2\,dz\,dy\,dx = \int_0^a x^2 \left( \int_0^a\int_0^a dy\,dz \right) dx = \int_0^a x^2 \cdot a^2\,dx = a^2 \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{a^5}{3}.$$
因此
$$3\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\,dV = 3 \cdot 3 \cdot \frac{a^5}{3} = 3a^5.$$
提示：利用对称性简化计算，注意 $\iiint_V x^2\,dV = \frac{a^5}{3}$。
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