下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第30题
📝 题目
30．计算： $\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x), g(y), h(z)$为连续函数，其中 $S:[0, a] \times[0, b] \times[0, c]$ 的边界，外侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.167 所示．
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
= & \iint_{S}[f(x) \cos (n, x)+g(y) \cos (n, y)+h(z) \cos (n, z)] \mathrm{d} S .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-357.jpg?height=1576&width=1424&top_left_y=3736&top_left_x=4206}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.167}
\end{figure}
首先计算 $\iint_{S} h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S} h(z) \cos (n, z) \mathrm{d} S$ 。
在长方体的四个侧面上， $\cos (n, z)=0$ ，在上底面的上侧 $\cos (n, z)=1$ ，在下底面的下侧 $\cos (n, z)=-1$ ．于是
$$
\iint_{S} h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S} h(z) \cos (n, z) \mathrm{d} S=(h(c)-h(0)) a b .
$$
同理，
$$
\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=(f(a)-f(0)) b c, \iint_{S} g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=(g(b)-g(0)) c a .
$$
故
$$
\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(f(a)-f(0)) b c+(g(b)-g(0)) c a+(h(c)-h(0)) a b .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将曲面积分转化为第二类曲面积分的形式
原积分为 $\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$，其中 $S$ 是长方体 $[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$ 的边界曲面，取外侧。根据第二类曲面积分与第一类曲面积分的关系，有：
$$\iint_{S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_{S} (P \cos\alpha + Q \cos\beta + R \cos\gamma) \mathrm{d} S,$$
其中 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 是曲面外法线的方向余弦。这里 $P=f(x), Q=g(y), R=h(z)$，因此原积分等于
$$\iint_{S} [f(x) \cos(n,x) + g(y) \cos(n,y) + h(z) \cos(n,z)] \mathrm{d} S.$$
公式：\iint_{S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_{S} (P \cos\alpha + Q \cos\beta + R \cos\gamma) \mathrm{d} S
提示：注意方向余弦的正负取决于曲面的侧，外侧法向量指向外部。
步骤 2/6
目标：分别计算三个积分，以 $h(z)$ 项为例
先计算 $\iint_{S} h(z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_{S} h(z) \cos(n,z) \mathrm{d} S$。长方体有六个面：上底面（$z=c$，外法线向上，$\cos(n,z)=1$）、下底面（$z=0$，外法线向下，$\cos(n,z)=-1$）和四个侧面（$x=0, x=a, y=0, y=b$，在这些面上 $\cos(n,z)=0$）。因此只有上下底面对积分有贡献。
提示：注意侧面法向量垂直于z轴，所以方向余弦为零。
步骤 3/6
目标：计算 $h(z)$ 项的积分值
上底面：$z=c$，$\cos(n,z)=1$，面积 $ab$，积分贡献为 $h(c) \cdot ab$。下底面：$z=0$，$\cos(n,z)=-1$，面积 $ab$，积分贡献为 $h(0) \cdot (-1) \cdot ab = -h(0)ab$。因此
$$\iint_{S} h(z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = (h(c)-h(0))ab.$$
提示：注意下底面法向向下，方向余弦为-1，不要漏掉负号。
步骤 4/6
目标：类似计算 $f(x)$ 项
对于 $\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_{S} f(x) \cos(n,x) \mathrm{d} S$。只有垂直于x轴的两个面有贡献：$x=a$ 面（外法向沿x正方向，$\cos(n,x)=1$，面积 $bc$）和 $x=0$ 面（外法向沿x负方向，$\cos(n,x)=-1$，面积 $bc$）。因此
$$\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{d} z = f(a) \cdot bc + f(0) \cdot (-1) \cdot bc = (f(a)-f(0))bc.$$
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=0$ 处取值。
步骤 5/6
目标：类似计算 $g(y)$ 项
对于 $\iint_{S} g(y) \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \iint_{S} g(y) \cos(n,y) \mathrm{d} S$。只有垂直于y轴的两个面有贡献：$y=b$ 面（外法向沿y正方向，$\cos(n,y)=1$，面积 $ca$）和 $y=0$ 面（外法向沿y负方向，$\cos(n,y)=-1$，面积 $ca$）。因此
$$\iint_{S} g(y) \mathrm{d} z \mathrm{d} x = g(b) \cdot ca + g(0) \cdot (-1) \cdot ca = (g(b)-g(0))ca.$$
提示：注意 $g(y)$ 在 $y=b$ 和 $y=0$ 处取值。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
将三个积分相加：
$$\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + g(y) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + h(z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = (f(a)-f(0))bc + (g(b)-g(0))ca + (h(c)-h(0))ab.$$
提示：最终结果是对称的，注意各项的系数分别是长方体的三个不同面的面积。
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