下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第31题
📝 题目
31．设 $S$ 为 $x+y+z=1, x, y, z>0$ 方向与坐标轴正向成锐角，求下列第二型曲面积分
（1） $\iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.168 所示，平面 $x+y+z=1$ 的法向量为 $\displaystyle n=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ．于是：
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\substack{x+y<1 \\ x>0, y>0}}(1-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}-2 \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y=\frac{1}{6}$ ．
（2） $\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{1}{2} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-358.jpg?height=1596&width=1327&top_left_y=815&top_left_x=4185}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.168}
\end{figure}
（3）补三个坐标面，方向向外．在三个坐标面上积分均为 0 ．于是
$$
\iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-0=3 \iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{8} .
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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