下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第32题
📝 题目
32．求第二型曲面积分 $\iint_{S}\left(x^{3}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 x^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为平面 $x+y+z=1$ 与三坐标面围成的四面体表面的外侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．169所示，由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S}\left(x^{3}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 x^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}\left(3 x^{2}-2 x^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x \iint_{D(x)} \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \\
& =\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{2} \mathrm{~d} x+\frac{1}{6}=\frac{11}{60}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.169}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用高斯公式
曲面 $S$ 是封闭的（四面体表面外侧），满足高斯公式条件。高斯公式：
$$\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz$$
其中 $P = x^3 - yz$, $Q = -2x^2 y$, $R = z$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2x^2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 1$$
所以被积函数为 $3x^2 - 2x^2 + 1 = x^2 + 1$。
公式：$$\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz$$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，本题已满足；计算偏导数时不要漏项。
步骤 2/7
目标：将曲面积分转化为三重积分
由高斯公式，原积分化为：
$$\iint_{S} \cdots = \iiint_{\Omega} (x^2 + 1) \,dx\,dy\,dz$$
其中 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与坐标面 $x=0, y=0, z=0$ 围成的四面体。
提示：三重积分区域是四面体，注意积分限的确定。
步骤 3/7
目标：拆分三重积分
将积分拆分为两部分：
$$\iiint_{\Omega} (x^2 + 1) \,dx\,dy\,dz = \iiint_{\Omega} x^2 \,dx\,dy\,dz + \iiint_{\Omega} 1 \,dx\,dy\,dz$$
第一部分是 $x^2$ 的体积分，第二部分是四面体的体积。
提示：拆分后分别计算，注意体积分 $\iiint_{\Omega} 1\,dV$ 就是体积。
步骤 4/7
目标：计算四面体的体积
四面体 $\Omega$ 的体积为 $\frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高}$。底面为 $x=0, y=0, z=0$ 围成的直角三角形，直角边长为1，面积为 $\frac{1}{2}$，高为1（从原点到底面距离），所以体积 $V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{6}$。
因此 $\iiint_{\Omega} 1\,dx\,dy\,dz = \frac{1}{6}$。
公式：四面体体积公式 $V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高}$
提示：注意四面体顶点在原点，底面是 $x+y+z=1$ 与坐标面截得的三角形。
步骤 5/7
目标：计算 $\iiint_{\Omega} x^2 \,dx\,dy\,dz$
采用先对 $y,z$ 积分，再对 $x$ 积分的方法。对于固定的 $x \in [0,1]$，$y$ 和 $z$ 满足 $y \geq 0, z \geq 0, y+z \leq 1-x$。因此截面 $D(x)$ 是直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}(1-x)^2$。
$$\iiint_{\Omega} x^2 \,dx\,dy\,dz = \int_0^1 x^2 \left( \iint_{D(x)} dy\,dz \right) dx = \int_0^1 x^2 \cdot \frac{1}{2}(1-x)^2 \,dx$$
公式：截面法：$\iiint_{\Omega} f(x)\,dV = \int_a^b f(x) A(x)\,dx$，其中 $A(x)$ 是截面面积。
提示：注意截面 $D(x)$ 是 $y+z \leq 1-x$ 在第一象限的部分，面积为 $\frac{1}{2}(1-x)^2$。
步骤 6/7
目标：计算定积分
计算积分：
$$\frac{1}{2} \int_0^1 x^2 (1-x)^2 \,dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 (1 - 2x + x^2) \,dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) \,dx$$
$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10 - 15 + 6}{30} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{60}$$
提示：计算定积分时注意合并同类项，避免算术错误。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
将两部分相加：
$$\iiint_{\Omega} x^2 \,dx\,dy\,dz + \iiint_{\Omega} 1 \,dx\,dy\,dz = \frac{1}{60} + \frac{1}{6} = \frac{1}{60} + \frac{10}{60} = \frac{11}{60}$$
因此原曲面积分的值为 $\frac{11}{60}$。
提示：注意通分计算，$\frac{1}{6} = \frac{10}{60}$。
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