下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第33题
📝 题目
33．设 $S$ 是曲面 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外侧，求下列第三型曲面积分．
（1） $\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。电子科技 2011，苏州科技 2011，南航 2010）
（2） $\iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\Omega$ 是 $S$ 所围的空间区域。作如下变换 $T: u=x-y+z, v=y-z+x, w=z-x+y$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)}=4$ ，且变换 $T$ 将 $\Omega$ 变为 $\Omega^{\prime}=\left\{(u, v, w) \| u|+|v|+|w| \leqslant 1\}\right.$ ．记 $\Omega^{\prime \prime}$ 是 $\Omega^{\prime}$ 在第一象限的部分，则
$$
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{4} \iiint_{\Omega^{\prime}} \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w=8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \iiint_{\Omega^{\prime}} \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w=2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3} .
$$
由高斯公式得：
（1） $\iint_{\Sigma}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=1$.
（2） $\iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}(3+2+3) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=8 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{8}{3} .
$$
（3） $\iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}(1+2+3) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=6 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析曲面方程并作变量替换
曲面方程为 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$，这是一个八面体表面。作变量替换：$u=x-y+z$, $v=y-z+x$, $w=z-x+y$。则变换 $T$ 将 $(x,y,z)$ 映射到 $(u,v,w)$，且雅可比行列式为 $\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}=4$。变换后区域 $\Omega'$ 为 $|u|+|v|+|w|\leq 1$，即八面体内部。
公式：\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}=4
提示：注意变量替换的雅可比行列式计算，确保变换正确。
步骤 2/5
目标：计算区域体积
由变量替换，$\iiint_\Omega dxdydz = \frac{1}{4} \iiint_{\Omega'} dudvdw$。八面体 $|u|+|v|+|w|\leq 1$ 的体积为 $\frac{4}{3}$（因为八面体体积公式 $V=\frac{4}{3}a^3$，这里 $a=1$）。但注意：$\Omega'$ 的体积是 $\frac{4}{3}$，所以 $\iiint_\Omega dxdydz = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$。
公式：\iiint_\Omega dxdydz = \frac{1}{3}
提示：八面体体积公式：$V=\frac{4}{3}a^3$，其中 $a$ 为半轴长。
步骤 3/5
目标：应用高斯公式于第一问
第一问被积函数：$P=x-y+z$, $Q=y-z+x$, $R=z-x+y$。由高斯公式，曲面积分等于 $\iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dxdydz = \iiint_\Omega (1+1+1) dxdydz = 3 \iiint_\Omega dxdydz = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$。
公式：\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dxdydz
提示：高斯公式要求曲面外侧，本题曲面为外侧，直接应用。
步骤 4/5
目标：应用高斯公式于第二问
第二问被积函数：$P=3x+y+z^{12}$, $Q=2y+\cos z+x^{12}$, $R=3z+e^{x+y^{12}}$。求偏导：$\frac{\partial P}{\partial x}=3$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=2$, $\frac{\partial R}{\partial z}=3$。散度和为 $3+2+3=8$。所以积分值为 $8 \iiint_\Omega dxdydz = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$。
公式：\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=8
提示：注意 $z^{12}$ 对 $x$ 偏导为0，$\cos z$ 对 $y$ 偏导为0，$e^{x+y^{12}}$ 对 $z$ 偏导为0。
步骤 5/5
目标：应用高斯公式于第三问
第三问被积函数：$P=x+y-z$, $Q=2y+\sin(x+z)$, $R=3z+e^{x+y}$。求偏导：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=2$, $\frac{\partial R}{\partial z}=3$。散度和为 $1+2+3=6$。所以积分值为 $6 \iiint_\Omega dxdydz = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$。
公式：\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=6
提示：注意 $\sin(x+z)$ 对 $y$ 偏导为0，$e^{x+y}$ 对 $z$ 偏导为0。
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