下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第34题
📝 题目
34．设 $S$ 是曲面 $|x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的外侧，求下列第二型曲面积分．
$$
\iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\Omega$ 是 $S$ 所围的空间区域，作变换 $T: u=x-y-z, v=y-z-x, w=z-x-y$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)}=4$ ，且变换 $T$ 将 $\Omega$ 变为 $\Omega^{\prime}=\left\{(u, v, w) \| u|+|v|+|w| \leqslant 1\}\right.$ ．记 $\Omega^{\prime \prime}$ 是 $\Omega^{\prime}$ 在第一象限的部分．由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
= & \iiint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega^{\prime}} \frac{3}{4} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w=8 \cdot \frac{3}{4} \cdot \iiint_{\Omega^{\prime}} \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w=6 \cdot \frac{1}{6}=1 .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用高斯公式
设 $S$ 是封闭曲面（题目指明外侧），所围区域为 $\Omega$。由高斯公式，原第二型曲面积分化为三重积分：
$$\iint_S (x-y-z) dy dz + (y-z-x) dz dx + (z-x-y) dx dy = \iiint_\Omega \left[\frac{\partial}{\partial x}(x-y-z) + \frac{\partial}{\partial y}(y-z-x) + \frac{\partial}{\partial z}(z-x-y)\right] dxdydz.$$
公式：高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dxdydz$
提示：注意曲面外侧对应正方向，高斯公式中散度项为正。
步骤 2/6
目标：计算散度
计算被积函数的散度：
$$\frac{\partial}{\partial x}(x-y-z)=1, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y-z-x)=1, \quad \frac{\partial}{\partial z}(z-x-y)=1,$$ 所以散度和为 $3$。因此积分化为
$$\iiint_\Omega 3 \, dxdydz = 3 \, \text{Vol}(\Omega).$$
提示：散度计算要仔细，每个偏导都是1。
步骤 3/6
目标：变量代换简化区域
曲面 $S$ 的方程为 $|x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$。作线性变换：
$$u = x-y-z, \quad v = y-z-x, \quad w = z-x-y.$$ 则变换的雅可比行列式为
$$\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = \det\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix} = 4.$$ 因此 $dxdydz = \frac{1}{4} du dv dw$。变换后区域 $\Omega'$ 为 $|u|+|v|+|w| \le 1$。
公式：雅可比行列式：$\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = 4$
提示：计算雅可比行列式时注意符号，行列式值为4。
步骤 4/6
目标：计算变换后体积
区域 $\Omega'$ 是八面体，体积为 $\frac{1}{6} \times (\text{边长})^3$？实际上，$|u|+|v|+|w| \le 1$ 的体积为 $\frac{4}{3}$？需要计算：第一卦限内 $u,v,w \ge 0$，$u+v+w \le 1$ 的体积为 $\frac{1}{6}$，由对称性，整个体积为 $8 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$。但注意：变换后 $\Omega'$ 的体积 $\text{Vol}(\Omega') = \frac{4}{3}$。
公式：八面体体积公式：$\text{Vol}(|u|+|v|+|w|\le 1) = \frac{4}{3}$
提示：注意对称性，第一卦限体积为1/6。
步骤 5/6
目标：计算原体积
由变量代换，$\text{Vol}(\Omega) = \iiint_\Omega dxdydz = \iiint_{\Omega'} \frac{1}{4} du dv dw = \frac{1}{4} \text{Vol}(\Omega') = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$。
提示：注意雅可比因子是1/4。
步骤 6/6
目标：得出积分结果
原积分 $= 3 \times \text{Vol}(\Omega) = 3 \times \frac{1}{3} = 1$。
提示：最终结果简单，但注意计算准确性。
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