下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第35题
📝 题目
35．计算曲面积分 $\iint_{S}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y, z)$ 为连续函数，$S$ 是平面 $x-y+z=1$ 在第四卦限部分的上侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.170 所示，平面 $S$ 的方程为 $x-y+z=1$ ，其法向量为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)$ ．由两类曲面积分的关系得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S}[(f(x, y, z)+x)-(2 f(x, y, z)+y)+(f(x, y, z)+z)] \mathrm{d} S \\
& =\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} S=\frac{1}{\sqrt{3}} \iint_{S} \mathrm{~d} S=\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{2} \sqrt{3}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.170}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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