下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第36题
📝 题目
36．求下列第二型曲面积分．
（1） $\iint_{S}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2 \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=3$ 围成的封闭曲面的外侧．
（2）$\oiint_{S}(x+y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\cos ^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\cos z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 外侧。
（3）$\oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧．
（4） $\iint_{S} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z>0)$ ，方向向上．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由高斯公式得：
（1）如图 9.171 所示，
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2 \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}(1-2 \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 \iiint_{\Omega} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \pi 3^{2}=9 \pi
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-360.jpg?height=1140&width=1133&top_left_y=2735&top_left_x=4365}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.171}
\end{figure}
（2）$\oiint_{S}(x+y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\cos ^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\cos z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$$
=\iiint_{\Omega}(1-2 \cos y \sin y-\sin z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4 \pi}{3} 2^{3}=\frac{32 \pi}{3} .
$$
（3）$\displaystyle \oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(1-\sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{3} \pi$ ．
（4）添加曲面：$S^{\prime}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，方向取下侧．$S+S^{\prime}$ 是封闭的曲面．记 $S+S^{\prime}$ 所围成的区域为 $\Omega . S$ 在 $x y$ 平面的投影区域为 $D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S^{\prime}} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}\left(4 \sin ^{3} x \cdot \cos x+\mathrm{e}^{-|y|}(-\operatorname{sgn} y)+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} \mathrm{~d} r \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r \cos \varphi \cdot r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} \varphi=2 \cdot 2 \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2} \sin ^{2} \varphi\right)^{\prime} \mathrm{d} \varphi=2 \cdot 2 \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi}{2} .
\end{aligned}
$$
又
$$
\iint_{S^{\prime}} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
于是
$$
\iint_{S} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：识别题型并应用高斯公式
题目要求计算第二型曲面积分，且积分曲面为封闭曲面（或可补成封闭曲面），因此考虑使用高斯公式。高斯公式将曲面积分转化为三重积分：
$$\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz$$
其中 $\Omega$ 是 $S$ 所围成的区域，$S$ 取外侧。
公式：$$\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz$$
提示：注意高斯公式要求曲面封闭且取外侧。若曲面不封闭，需补面使其封闭，并注意方向。
步骤 2/10
目标：计算第(1)题：确定被积函数和积分区域
对于第(1)题，$P = x+1$, $Q = 2\cos y$, $R = 3$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2\sin y,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 0$$
所以散度为 $1 - 2\sin y$。积分区域 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=3$ 围成的圆锥体。
提示：注意 $\frac{\partial Q}{\partial y}$ 的符号：$\cos y$ 的导数是 $-\sin y$。
步骤 3/10
目标：第(1)题：利用对称性简化三重积分
由于区域关于 $y=0$ 对称，且 $\sin y$ 是奇函数，所以 $\iiint_{\Omega} \sin y\,dV = 0$。因此：
$$\iiint_{\Omega} (1 - 2\sin y)\,dV = \iiint_{\Omega} 1\,dV = \text{体积}$$
提示：利用奇偶性简化积分时，需确认区域对称且被积函数为奇函数。
步骤 4/10
目标：第(1)题：计算圆锥体积
圆锥底面半径 $R=3$（因为 $z=3$ 时，$\sqrt{x^2+y^2}=3$），高 $h=3$。圆锥体积公式 $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$。所以原积分 $= 9\pi$。
公式：$$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$$
提示：注意圆锥的底面半径由 $z=3$ 与锥面交线确定。
步骤 5/10
目标：计算第(2)题：确定散度并利用对称性
对于第(2)题，$P = x+yz$, $Q = \cos^2 y$, $R = \cos z$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2\cos y \sin y = -\sin 2y,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = -\sin z$$
所以散度为 $1 - \sin 2y - \sin z$。区域 $\Omega$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 4$。由于球体关于 $y=0$ 和 $z=0$ 对称，且 $\sin 2y$ 和 $\sin z$ 是奇函数，故积分 $\iiint_{\Omega} \sin 2y\,dV = 0$, $\iiint_{\Omega} \sin z\,dV = 0$。因此积分等于球体体积。
提示：注意 $\cos^2 y$ 的导数是 $-2\cos y \sin y$，可化简为 $-\sin 2y$。
步骤 6/10
目标：第(2)题：计算球体体积
球体半径 $R=2$，体积 $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}$。所以原积分 $= \frac{32\pi}{3}$。
公式：$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$
提示：注意半径是2，不是1。
步骤 7/10
目标：计算第(3)题：类似处理
对于第(3)题，$P = x$, $Q = \cos y$, $R = 1$。散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=-\sin y$, $\frac{\partial R}{\partial z}=0$，散度为 $1-\sin y$。区域 $\Omega$ 是单位球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$。由于 $\sin y$ 是奇函数且区域对称，$\iiint_{\Omega} \sin y\,dV = 0$，所以积分等于单位球体积 $\frac{4\pi}{3}$。
提示：单位球半径 $R=1$，体积 $\frac{4\pi}{3}$。
步骤 8/10
目标：计算第(4)题：补面并应用高斯公式
第(4)题中曲面 $S$ 是上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，方向向上（即法向量与 $z$ 轴正方向成锐角）。由于不是封闭曲面，需补上底面 $S'$：$z=0$, $x^2+y^2 \leq 1$，方向取下侧（使 $S+S'$ 封闭且取外侧）。记 $\Omega$ 为上半球体。
被积函数：$P = \sin^4 x$, $Q = e^{-|y|}$, $R = z^2$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 4\sin^3 x \cos x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = e^{-|y|} \cdot (-\text{sgn}(y)),\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z$$
其中 $\text{sgn}(y)$ 是符号函数。由于区域关于 $y=0$ 对称，且 $e^{-|y|}\text{sgn}(y)$ 是奇函数，故 $\iiint_{\Omega} e^{-|y|}\text{sgn}(y)\,dV = 0$。同样，$4\sin^3 x \cos x$ 关于 $x$ 是奇函数？注意 $\sin^3 x \cos x$ 是奇函数（因为 $\sin^3 x$ 是奇，$\cos x$ 是偶，乘积为奇），但区域关于 $x=0$ 对称，所以积分也为0。因此散度积分简化为 $\iiint_{\Omega} 2z\,dV$。
提示：补面时注意方向：底面取下侧，使得整体外侧。符号函数 $\text{sgn}(y)$ 在 $y=0$ 处无定义，但积分不影响。
步骤 9/10
目标：第(4)题：计算三重积分 $\iiint_{\Omega} 2z\,dV$
采用球坐标：$x = r\sin\varphi\cos\theta$, $y = r\sin\varphi\sin\theta$, $z = r\cos\varphi$，其中 $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi/2$（上半球）。体积元 $dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$。则：
$$\iiint_{\Omega} 2z\,dV = 2\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 dr\int_0^{\pi/2} (r\cos\varphi) \cdot r^2\sin\varphi\,d\varphi = 2\cdot 2\pi \int_0^1 r^3 dr \int_0^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi$$
计算：$\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}$，$\int_0^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \sin 2\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}$。所以积分 $= 2\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$。
提示：球坐标变换时注意 $z = r\cos\varphi$，且 $\varphi$ 从0到 $\pi/2$。
步骤 10/10
目标：第(4)题：计算补面上的积分并得到结果
在底面 $S'$ 上，$z=0$，方向取下侧，法向量为 $(0,0,-1)$。因此 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为0（因为 $z$ 常数，$dz=0$），只有 $dx\,dy$ 项：$\iint_{S'} z^2\,dx\,dy = \iint_{S'} 0\,dx\,dy = 0$。所以补面上的积分为0。
由高斯公式，$\iint_{S+S'} = \iiint_{\Omega} = \frac{\pi}{2}$，所以 $\iint_S = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。
提示：注意补面方向：取下侧时，$dx\,dy$ 的符号为负，但这里被积函数为0，不影响。
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