下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第38题
📝 题目
38．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $S$ 分别为：
（1）$S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧。
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-363.jpg?height=1486&width=4553&top_left_y=787&top_left_x=614}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.175}
\end{figure}
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.175 所示，记 $\displaystyle P=\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, Q=\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, R=\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，则
$$
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{-2 x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{-2 y^{2}+x^{2}+z^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}, \quad \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{-2 z^{2}+x^{2}+y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} .
$$
在空间坐标系上除了原点外都有 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
当原点在 $S$ 之外时，由高斯公式 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iiint_{\Omega} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
当原点在 $S$ 之内时，取 $\varepsilon>0$ 充分小，作曲面 $S_{\varepsilon}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=\varepsilon^{2}$ ，使 $\mathrm{S}_{\varepsilon}$ 落在 $S$ 之内，取外侧．
于是
$$
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iint_{S_{\varepsilon}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\varepsilon^{3}} \iint_{S_{\varepsilon}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
由高斯公式
$$
\iint_{S_{\varepsilon}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \cdot \frac{4}{3} \pi \varepsilon^{3}=4 \pi \varepsilon^{3} .
$$
于是
$$
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=4 \pi .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出被积函数分量并计算散度
记 $P=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$，$Q=\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$，$R=\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{-2x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}},\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{-2y^2+x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}},\quad \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{-2z^2+x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.
$$
求和得散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0,\quad (x,y,z)\neq(0,0,0).
$$
公式：$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$
提示：注意分母的幂次，求导时使用链式法则，合并后分子抵消为零。
步骤 2/6
目标：情况（1）：原点在S外部，直接应用高斯公式
由于S是光滑闭曲面且不包含原点，其包围的区域$\Omega$内散度处处为0。由高斯公式：
$$
\iint_S \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \iiint_\Omega 0\,dV = 0.
$$
公式：高斯公式：$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：确保S是外侧方向，且原点不在内部，否则散度在原点无定义。
步骤 3/6
目标：情况（2）：原点在S内部，构造辅助小曲面
取充分小的$\varepsilon>0$，作小球面$S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$，取外侧（即指向球外）。使得$S_\varepsilon$完全包含在S内部。考虑由S和$S_\varepsilon$围成的区域$\Omega'$（S外侧，$S_\varepsilon$内侧），则$\Omega'$内无原点，散度为0。由高斯公式：
$$
\iint_{S\cup S_\varepsilon^-} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0,
$$
其中$S_\varepsilon^-$表示内侧。因此
$$
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.
$$
公式：高斯公式应用于无奇点区域
提示：注意方向：S外侧，$S_\varepsilon$取外侧（与S同向），则$S_\varepsilon$相对于$\Omega'$是内侧，故需加负号，但这里直接得到相等。
步骤 4/6
目标：计算小球面上的曲面积分
在$S_\varepsilon$上，$x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$，因此被积函数分母为常数$\varepsilon^3$：
$$
\iint_{S_\varepsilon} \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{1}{\varepsilon^3}\iint_{S_\varepsilon} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy.
$$
公式：分母常数化
提示：注意积分变量是$dy\,dz$等，不是面积元$dS$。
步骤 5/6
目标：利用高斯公式计算小球面上的积分
对向量场$(x,y,z)$应用高斯公式，其散度为$\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3$。设$S_\varepsilon$包围的区域为$\Omega_\varepsilon$（半径为$\varepsilon$的球体），则
$$
\iint_{S_\varepsilon} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \iiint_{\Omega_\varepsilon} 3\,dV = 3\cdot \frac{4}{3}\pi\varepsilon^3 = 4\pi\varepsilon^3.
$$
公式：$\iint_S x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \iiint_\Omega 3\,dV$
提示：高斯公式中，$dy\,dz$对应$x$分量，注意符号：外侧方向为正。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
将小球面积分结果代入：
$$
\iint_S \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{1}{\varepsilon^3} \cdot 4\pi\varepsilon^3 = 4\pi.
$$
提示：结果与$\varepsilon$无关，因此极限存在且为$4\pi$。
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