下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第39题
📝 题目
39．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $S$ 分别为：
（1）$S$ 为上半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 的外侧
（2）$S$ 为上半球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geqslant 0)$ 的外侧．
（3）$S$ 为曲面 $1-z=x^{2}+y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（4）$S$ 为曲面 $z=5-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（5）$S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧。
（6）$S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（7）$S$ 为抛物面 $\displaystyle 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\displaystyle P=\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, Q=\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, R=\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，则
$$
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{-2 x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}, \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{-2 y^{2}+x^{2}+z^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}, \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{-2 z^{2}+x^{2}+y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} .
$$
在空间坐标系上除了点原点外都有 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
（1）如图9．176所示，由于在半球面 $S$ 上有 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，所以
$$
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^{3}} \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
补平面区域 $S^{\prime}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ ，方向向下．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}0} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi a^{3} .
$$
又
$$
\iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
于是
$$
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^{3}} \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \pi
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-364.jpg?height=1134&width=1347&top_left_y=4959&top_left_x=511}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.176}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-364.jpg?height=1064&width=1444&top_left_y=5035&top_left_x=2210}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.177}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-364.jpg?height=1107&width=1382&top_left_y=4986&top_left_x=4006}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.178}
\end{figure}
（2～7）如图9．177，9．178所示，取 $\varepsilon>0$ 充分小，作半球面 $S_{\varepsilon}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=\varepsilon^{2}(z \geqslant 0)$ ，使 $S_{\varepsilon}$ 落在 $S$ 之内，方向向上。作平面区域 $S^{\prime}:\left\{(x, y, z): z=0, x^{2}+y^{2} \geqslant \varepsilon^{2}\right\}$ ，方向向下，记 $S^{\prime}, S_{\varepsilon}$ 与 $S$ 围成的封闭曲面为 $\sum$ ，对应立体区域为 $\Omega$ 。由高斯公式得
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iiint_{\Omega} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} & =\iint_{S_{\epsilon}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+\iint_{S^{\prime}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \\
& =\frac{1}{\varepsilon^{3}} \iint_{S_{t}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\varepsilon^{3}} \iint_{S_{e}} \frac{1}{\varepsilon}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S
\end{aligned}
$$
$$
=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \iint_{S_{c}} \mathrm{~d} S=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{1}{2} 4 \pi \varepsilon^{2}=2 \pi
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算散度并判断奇点
设 $P=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$, $Q=\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$, $R=\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{-2x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{-2y^2+x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, \quad \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{-2z^2+x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.$$
求和得 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$（除原点外）。原点为奇点，需分情况处理。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F}=0$
提示：注意散度仅在原点处不定义，因此当曲面包含原点时需挖去奇点。
步骤 2/5
目标：处理情况（1）：上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧
由于曲面 $S$ 上 $x^2+y^2+z^2=a^2$，被积函数分母为常数 $a^3$，故原积分化为 $\frac{1}{a^3}\iint_S x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy$。补平面 $S': z=0, x^2+y^2\leq a^2$，方向向下。由高斯公式，
$$\iint_{S+S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \iiint_{V} 3\,dV = 2\pi a^3,$$
其中 $V$ 是上半球体。而 $\iint_{S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy=0$（因为 $z=0$ 且 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零，$z\,dx\,dy=0$）。因此原积分 $=\frac{1}{a^3}\cdot 2\pi a^3 = 2\pi$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dV$
提示：补平面时注意方向：外侧曲面加下侧平面构成封闭曲面外侧。
步骤 3/5
目标：处理情况（2）-（7）：一般上半曲面，原点不在曲面上
取充分小的 $\varepsilon>0$，作辅助半球面 $S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2, z\geq 0$，方向向上（即外侧）。作平面区域 $S': z=0, x^2+y^2\geq \varepsilon^2$，方向向下。则 $S, S_\varepsilon, S'$ 围成封闭曲面 $\Sigma$，方向外侧。由高斯公式，
$$\iint_\Sigma \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \iiint_\Omega 0\,dV = 0,$$
其中 $\Omega$ 为 $\Sigma$ 所围区域（不含原点）。因此
$$\iint_S = \iint_{S_\varepsilon} + \iint_{S'}.$$
在 $S'$ 上，$z=0$，且 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零，$z\,dx\,dy=0$，故 $\iint_{S'}=0$。所以原积分 $= \iint_{S_\varepsilon}$。
公式：高斯公式；散度为0
提示：注意 $S_\varepsilon$ 的方向：需与 $S$ 和 $S'$ 构成封闭曲面外侧，故 $S_\varepsilon$ 取向上（外侧）。
步骤 4/5
目标：计算辅助半球面 $S_\varepsilon$ 上的积分
在 $S_\varepsilon$ 上，$x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$，分母为常数 $\varepsilon^3$，故
$$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{1}{\varepsilon^3}\iint_{S_\varepsilon} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy.$$
利用向量点积形式：$x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \mathbf{r}\cdot \mathbf{n}\,dS$，其中 $\mathbf{r}=(x,y,z)$，$\mathbf{n}$ 为外侧单位法向量。在球面上，$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}}{\varepsilon}$，故 $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=\varepsilon$。因此
$$\iint_{S_\varepsilon} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \iint_{S_\varepsilon} \varepsilon\,dS = \varepsilon \cdot \frac{1}{2}\cdot 4\pi\varepsilon^2 = 2\pi\varepsilon^3.$$
代入得原积分 $= \frac{1}{\varepsilon^3}\cdot 2\pi\varepsilon^3 = 2\pi$。
公式：$x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \mathbf{r}\cdot\mathbf{n}\,dS$；半球面积 $2\pi\varepsilon^2$
提示：注意半球面面积是 $2\pi\varepsilon^2$，不是 $4\pi\varepsilon^2$。
步骤 5/5
目标：总结所有情况的结果
对于所有给定的上半曲面（1）-（7），原第二型曲面积分的结果均为 $2\pi$。这是因为无论曲面形状如何，只要它是不含原点的上半封闭曲面（或开口向上），通过挖洞法和散度为零，积分值恒等于辅助半球面上的积分，而该积分恒为 $2\pi$。
提示：注意（1）中曲面包含原点，但通过直接计算也得 $2\pi$，故所有情况结果一致。
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