下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第40题
📝 题目
40．设 $S$ 为 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．$(a=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.179 所示，补充平面区域 $S^{\prime}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ ，方向取下侧．记 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域．由于在下半球面 $S$ 上有 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，所以积分的分母均先化简为 $a$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-365.jpg?height=1030&width=1307&top_left_y=2970&top_left_x=4254}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．179}
\end{figure}
（1）化简： $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a} \iint_{S} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
由高斯公式得
又
$$
\iint_{S} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iiint_{\Omega}(3 a+2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\iint_{S^{\prime}} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
所以
$$
\begin{aligned}
\iint_{S^{\prime}} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}}(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
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