下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第41题
📝 题目
41．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ，其中 $S$ 为 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+R\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+2 R\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+3 R\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $S$ 表示上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $S$ 是球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}$ ，其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 外侧的 $z \geqslant 0$ 部分．（哈 $I$ 大 2009：$R=1$ ）
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}\left(x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $S$ 为 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）化简：
$$
\iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a} \iint_{S} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
补充平面区域 $S^{\prime}: z=0, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ ，方向取上侧（见图 9．180）．记 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域。由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}(a-2 z+2 z+2 a) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 a \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \pi a^{4}
$$
又
$$
\iint_{S^{\prime}} a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} a^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数
由于曲面 $S$ 是球面 $z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 的下侧，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，且 $z \leq 0$。在 $S$ 上，$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = a$，因此被积函数可化简为：
$$\iint_S \frac{a x \,dy\,dz + (x - 2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{a} \iint_S a x \,dy\,dz + (x - 2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy.$$
公式：$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$ 在 $S$ 上
提示：注意曲面方程，分母化为常数，简化积分。
步骤 2/4
目标：补充平面并应用高斯公式
补充平面区域 $S': z=0, x^2+y^2 \leq a^2$，方向取上侧。记 $\Omega$ 为 $S+S'$ 所围成的空间区域（半球体）。由高斯公式：
$$\iint_{S+S'} a x \,dy\,dz + (x-2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial}{\partial x}(a x) + \frac{\partial}{\partial y}(x-2yz) + \frac{\partial}{\partial z}((z+a)^2) \right) dV.$$
计算散度：$\frac{\partial}{\partial x}(a x)=a$，$\frac{\partial}{\partial y}(x-2yz)= -2z$，$\frac{\partial}{\partial z}((z+a)^2)=2(z+a)$，总和为 $a - 2z + 2z + 2a = 3a$。因此：
$$\iint_{S+S'} \cdots = 3a \iiint_\Omega dV = 3a \cdot \frac{2}{3}\pi a^3 = 2\pi a^4.$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意散度计算要准确，半球体积为 $\frac{2}{3}\pi a^3$。
步骤 3/4
目标：计算补充平面上的积分
在 $S'$ 上，$z=0$，$dz=0$，且 $S'$ 取上侧，法向量与 $z$ 轴正向一致，故 $dxdy$ 的系数为正。代入 $z=0$，被积表达式简化为：
$$a x \,dy\,dz + (x-2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy = a^2 \,dx\,dy.$$
因此：
$$\iint_{S'} a x \,dy\,dz + (x-2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy = \iint_{x^2+y^2 \leq a^2} a^2 \,dx\,dy = a^2 \cdot \pi a^2 = \pi a^4.$$
公式：二重积分面积公式：$\iint_{x^2+y^2 \leq a^2} dxdy = \pi a^2$
提示：注意 $S'$ 的方向，上侧对应 $dxdy$ 为正。
步骤 4/4
目标：相减得到原积分
由高斯公式，$\iint_{S+S'} = \iint_S + \iint_{S'}$，所以：
$$\iint_S a x \,dy\,dz + (x-2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy = \iint_{S+S'} - \iint_{S'} = 2\pi a^4 - \pi a^4 = \pi a^4.$$
再乘以 $\frac{1}{a}$ 得到原积分：
$$\iint_S \frac{a x \,dy\,dz + (x-2yz)\,dz\,dx + (z+a)^2\,dx\,dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{a} \cdot \pi a^4 = \pi a^3.$$
提示：注意原积分有分母 $a$，不要漏乘。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。