下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第42题
📝 题目
42．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\Omega$ 是 $S$ 所围的空间区域．
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} \frac{x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} & =\frac{1}{a^{2}} \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{3}{a^{2}} \iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\frac{3}{a^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{a} r^{4} \sin \varphi \mathrm{~d} r=\frac{12}{5} \pi a^{3} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用球面方程简化分母
由于积分曲面 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，在曲面上 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 为常数，因此被积函数的分母可以提到积分号外：
$$\iint_S \frac{x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy}{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{a^2} \iint_S (x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy).$$
公式：在曲面 $S$ 上，$x^2+y^2+z^2=a^2$
提示：注意：分母是常数才能提出，否则不能直接提出。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
曲面 $S$ 是封闭曲面且取外侧，满足高斯公式的条件。高斯公式：
$$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV,$$
其中 $\Omega$ 是 $S$ 所围成的空间区域（球体）。这里 $P=x^3$, $Q=y^3$, $R=z^3$，计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2,$$
所以
$$\iint_S x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy = \iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2) dV.$$
代入原式得：
$$\frac{1}{a^2} \cdot 3 \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV = \frac{3}{a^2} \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV.$$
公式：高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，方向不能搞反。
步骤 3/5
目标：将三重积分转换为球坐标
积分区域 $\Omega$ 是半径为 $a$ 的球体，采用球坐标变换：
$$x = r \sin\varphi \cos\theta, \quad y = r \sin\varphi \sin\theta, \quad z = r \cos\varphi,$$
其中 $r \in [0,a]$, $\varphi \in [0,\pi]$, $\theta \in [0,2\pi]$，体积元 $dV = r^2 \sin\varphi \, dr d\varphi d\theta$。被积函数 $x^2+y^2+z^2 = r^2$，因此
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\varphi \int_0^a r^2 \cdot r^2 \sin\varphi \, dr = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi \int_0^a r^4 dr.$$
公式：球坐标变换：$dV = r^2 \sin\varphi \, dr d\varphi d\theta$
提示：注意 $r^2$ 来自 $x^2+y^2+z^2$，$r^2$ 来自体积元，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：计算球坐标下的三重积分
分别计算三个积分：
$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi, \quad \int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = [-\cos\varphi]_0^\pi = 2, \quad \int_0^a r^4 dr = \left[\frac{r^5}{5}\right]_0^a = \frac{a^5}{5}.$$
相乘得：
$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{4\pi a^5}{5}.$$
公式：基本积分公式
提示：注意积分限：$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$\varphi$ 从 $0$ 到 $\pi$，$r$ 从 $0$ 到 $a$。
步骤 5/5
目标：代入原式得到最终结果
将三重积分的结果代入：
$$\frac{3}{a^2} \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV = \frac{3}{a^2} \cdot \frac{4\pi a^5}{5} = \frac{12\pi a^3}{5}.$$
因此，原曲面积分的值为 $\frac{12}{5}\pi a^3$。
提示：注意约分：$a^5 / a^2 = a^3$。
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