下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第43题
📝 题目
43．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $S$ 的单位外法向量， $a>0, b>0, c>0$ 。（1）$S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $a>0, b>0, c>0$ ．
（3）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $S$ 为 $x^{2}=y^{2}+z^{2}$ 的外侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\displaystyle P=\frac{x}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, Q=\frac{y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, R=\frac{z}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，则它们在空间坐标系上除了原点外都有连续偏导数且 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
（1）如图9．183所示，当原点在 $S$ 之外时，由高斯公式得
$$
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iiint_{\Omega} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 .
$$
如图9．184所示，当原点在 $S$ 之内时，作小椭球 $S^{\prime}: a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=\varepsilon^{2}$ ，使其完全包含在 $S$ 内，
取外侧，记 $S_{-}^{\prime}$ 为小椭球内侧，$\Omega$ 为 $S$ 与 $S_{-}^{\prime}$ 之间的区域．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=0
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} & =-\iint_{S^{\prime}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iint_{S^{\prime}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \\
& =\frac{1}{\varepsilon^{3}} \iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\varepsilon^{3}} \iiint_{a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}<\varepsilon^{2}} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =3 \frac{1}{\varepsilon^{3}} \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{\varepsilon}{\sqrt{a}} \frac{\varepsilon}{\sqrt{b}} \frac{\varepsilon}{\sqrt{c}}=\frac{4 \pi}{\sqrt{a b c}} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-370.jpg?height=1354&width=1458&top_left_y=2818&top_left_x=780}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.183}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-370.jpg?height=1140&width=1693&top_left_y=3046&top_left_x=3287}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．184}
\end{figure}
（2）属于（1）中当原点在 $S$ 之内的情形．
（3）设 $\displaystyle P=\frac{x}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, Q=\frac{y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, R=\frac{z}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，则它们在空间坐标系上除了原点外都有连续偏导数且 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
如图 9.185 所示，对任一正数 $\varepsilon$ ，作曲面 $S^{\prime}: a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=\varepsilon^{2}$ ，其与锥面 $x^{2}=y^{2}+z^{2}$ 围成的区域为 $\Omega$ ，对应的曲面 $S+S_{-}^{\prime}$ 取外侧．由 Gauss 公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=0
$$
于是 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iint_{S^{\prime}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-370.jpg?height=1251&width=1209&top_left_y=5442&top_left_x=4303}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图9．185}
\end{figure}
$$
=\frac{1}{\varepsilon^{3}} \iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
由高斯公式得
$$
\iint_{S^{\prime}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
作变换 $b y=r \sin \varphi \cos \theta, c z=r \sin \varphi \sin \theta, a x=r \cos \varphi$ ，则
$$
0 \leqslant r<\varepsilon, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{4}, J=\frac{1}{\sqrt{a b c}} r^{2} \sin \varphi
$$
于是
$$
\begin{gathered}
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{a b c}} r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r=\frac{\pi \varepsilon^{3}}{3 \sqrt{a b c}}(2-\sqrt{2}) \\
\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{a b c}}(2-\sqrt{2})
\end{gathered}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入向量场并验证散度为零
设 $\displaystyle P=\frac{x}{(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2})^{3/2}}$, $\displaystyle Q=\frac{y}{(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2})^{3/2}}$, $\displaystyle R=\frac{z}{(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2})^{3/2}}$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$$（除原点外）。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F}=0$
提示：注意散度在原点处无定义，需考虑原点是否在曲面内部。
步骤 2/8
目标：处理原点不在曲面内部的情形（1）
当原点在光滑闭曲面 $S$ 外部时，$S$ 所围区域 $\Omega$ 内无奇点，由高斯公式得：
$$\iint_S \frac{x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma}{(a x^2+b y^2+c z^2)^{3/2}} \, ds = \iiint_\Omega 0 \, dV = 0.$$
公式：高斯公式：$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：注意曲面积分与第二型曲面积分的关系：$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$。
步骤 3/8
目标：处理原点在曲面内部的情形（2）
当原点在 $S$ 内部时，作辅助椭球面 $S': a x^2+b y^2+c z^2 = \varepsilon^2$（$\varepsilon$ 足够小），取内侧 $S'_-$，则 $S$ 与 $S'_-$ 围成区域 $\Omega$ 内无奇点。由高斯公式：
$$\iint_{S+S'_-} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0 \Rightarrow \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = -\iint_{S'_-} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S'} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$
其中 $S'$ 取外侧。
公式：高斯公式及方向调整
提示：注意辅助曲面的方向：内侧与外侧的转换。
步骤 4/8
目标：计算辅助椭球面上的积分
在 $S'$ 上，$(a x^2+b y^2+c z^2)^{3/2} = \varepsilon^3$，故
$$\iint_{S'} \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(a x^2+b y^2+c z^2)^{3/2}} = \frac{1}{\varepsilon^3}\iint_{S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy.$$
再由高斯公式（$S'$ 围成椭球体 $\Omega'$）：
$$\iint_{S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = \iiint_{\Omega'} 3\,dV = 3\cdot\text{Vol}(\Omega').$$
公式：$\iint_S x\,dy\,dz = \iiint_\Omega \frac{\partial x}{\partial x}\,dV = \iiint_\Omega 1\,dV$
提示：注意第二型曲面积分与高斯公式的对应关系。
步骤 5/8
目标：计算椭球体积
椭球 $a x^2+b y^2+c z^2 \leq \varepsilon^2$ 的体积为 $\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{\varepsilon}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\varepsilon}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\varepsilon}{\sqrt{c}} = \frac{4\pi\varepsilon^3}{3\sqrt{abc}}$。因此
$$\iint_{S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = 3\cdot\frac{4\pi\varepsilon^3}{3\sqrt{abc}} = \frac{4\pi\varepsilon^3}{\sqrt{abc}}.$$
公式：椭球体积公式
提示：注意椭球半轴分别为 $\varepsilon/\sqrt{a}$, $\varepsilon/\sqrt{b}$, $\varepsilon/\sqrt{c}$。
步骤 6/8
目标：得到原点在内部时的积分值
代入得：
$$\iint_S \frac{x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma}{(a x^2+b y^2+c z^2)^{3/2}}\,ds = \frac{1}{\varepsilon^3}\cdot\frac{4\pi\varepsilon^3}{\sqrt{abc}} = \frac{4\pi}{\sqrt{abc}}.$$
提示：结果与 $\varepsilon$ 无关，说明积分值由曲面是否包含原点决定。
步骤 7/8
目标：解答第（2）问
第（2）问中曲面 $S$ 为单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$，包含原点在内，故属于情形（2），积分值为 $\frac{4\pi}{\sqrt{abc}}$。
提示：注意单位球面包含原点，直接应用结果。
步骤 8/8
目标：解答第（3）问
曲面 $S: x^2=y^2+z^2$ 为锥面，原点在锥顶。作辅助椭球面 $S': a x^2+b y^2+c z^2 = \varepsilon^2$，与锥面围成区域 $\Omega$。由高斯公式得：
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S'} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \frac{1}{\varepsilon^3}\iint_{S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy.$$
再用高斯公式：
$$\iint_{S'} x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy = 3\iiint_\Omega dV.$$
作广义球坐标变换：$\sqrt{a}x=r\cos\varphi$, $\sqrt{b}y=r\sin\varphi\cos\theta$, $\sqrt{c}z=r\sin\varphi\sin\theta$，雅可比行列式 $J=\frac{r^2\sin\varphi}{\sqrt{abc}}$。锥面 $x^2=y^2+z^2$ 对应 $\varphi = \pi/4$。积分区域：$0\leq r\leq\varepsilon$, $0\leq\theta\leq2\pi$, $0\leq\varphi\leq\pi/4$。计算体积：
$$\iiint_\Omega dV = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/4}d\varphi\int_0^\varepsilon \frac{r^2\sin\varphi}{\sqrt{abc}}\,dr = \frac{2\pi}{\sqrt{abc}}\cdot(1-\cos(\pi/4))\cdot\frac{\varepsilon^3}{3} = \frac{\pi\varepsilon^3}{3\sqrt{abc}}(2-\sqrt{2}).$$
因此
$$\iint_S \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(a x^2+b y^2+c z^2)^{3/2}} = \frac{1}{\varepsilon^3}\cdot3\cdot\frac{\pi\varepsilon^3}{3\sqrt{abc}}(2-\sqrt{2}) = \frac{\pi}{\sqrt{abc}}(2-\sqrt{2}).$$
公式：广义球坐标变换及雅可比行列式
提示：注意锥面方程对应的角度范围；广义球坐标变换需正确写出。
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