下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第44题
📝 题目
44．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,\left(r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}}\right)$ ，其中（1）$S:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（2）$\displaystyle S: \frac{(x-1)^{2}}{1}+\frac{(y-2)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（3）$S:|x| \leqslant 2,|y| \leqslant 3,|z| \leqslant 4$ 外表面．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\displaystyle P=\frac{x-1}{r^{3}}, Q \doteq \frac{x-2}{r^{3}}, R=\frac{z-3}{r^{3}}$ ，则它们在空间坐标系上除了点 $(2,3,4)$ 外都有连续偏导数且 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
如图9．186所示，作小球 $S^{\prime}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=\varepsilon^{2}$ ，使其完全包含在 $S$ 内，取外侧，$S_{-}^{\prime}$ 为小椭球内侧，$\Omega$ 为 $S$ 与 $S_{-}^{\prime}$ 之间的区域．由 Gauss公式得
$$
\iint_{S+S_{-}^{\prime}} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
于是 $\displaystyle \quad \iint_{S} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-371.jpg?height=1196&width=1127&top_left_y=3729&top_left_x=4434}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.186}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
& =-\iint_{S^{\prime}} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{\varepsilon^{2}} \iint_{S}(x-1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-2) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-3) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \iiint_{V_{1}}(1+1+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{3}{\varepsilon^{2}} \frac{4}{3} \pi \varepsilon^{2}=4 \pi
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别向量场并检查散度
设 $P = \frac{x-1}{r^3}$, $Q = \frac{y-2}{r^3}$, $R = \frac{z-3}{r^3}$，其中 $r = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2}$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0$$
（除点 $(1,2,3)$ 外处处成立）。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$
提示：注意散度为零仅在除奇点外成立，奇点为 $(1,2,3)$。
步骤 2/6
目标：分析奇点与曲面的关系
对于问题(1)，曲面 $S$ 是球面 $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=1$，奇点 $(1,2,3)$ 恰好是球心，位于曲面内部。对于问题(2)，曲面是椭球面，中心也是 $(1,2,3)$，奇点在内部。对于问题(3)，曲面是长方体表面，奇点 $(1,2,3)$ 在长方体内部（因为 $|x|\le 2$ 包含 $x=1$ 等）。因此所有情况奇点都在曲面内部。
提示：确认奇点是否在曲面内部，这是应用高斯公式时需挖去小区域的原因。
步骤 3/6
目标：构造辅助曲面并应用高斯公式
作小球面 $S_\varepsilon: (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 = \varepsilon^2$，取外侧，使得 $S_\varepsilon$ 完全包含在 $S$ 内部。考虑由 $S$ 和 $S_\varepsilon$ 的内侧（即 $-S_\varepsilon$）所围成的区域 $\Omega$。在 $\Omega$ 上应用高斯公式，由于散度为零，得：
$$\iint_{S + (-S_\varepsilon)} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0$$
即 $$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：注意 $S_\varepsilon$ 取外侧，但 $\Omega$ 的边界中 $S_\varepsilon$ 部分需取内侧，因此符号变化。
步骤 4/6
目标：计算小球面上的曲面积分
在 $S_\varepsilon$ 上，$r = \varepsilon$ 为常数。则积分化为：
$$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x-1}{\varepsilon^3} dy dz + \frac{y-2}{\varepsilon^3} dz dx + \frac{z-3}{\varepsilon^3} dx dy = \frac{1}{\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon} (x-1) dy dz + (y-2) dz dx + (z-3) dx dy$$
提示：注意 $r$ 在球面上为常数 $\varepsilon$，可提出分母。
步骤 5/6
目标：将第二型曲面积分转化为三重积分
对 $\iint_{S_\varepsilon} (x-1) dy dz + (y-2) dz dx + (z-3) dx dy$ 应用高斯公式，其中向量场为 $(x-1, y-2, z-3)$，散度为 $3$。设 $V_\varepsilon$ 为小球体，则：
$$\iint_{S_\varepsilon} (x-1) dy dz + (y-2) dz dx + (z-3) dx dy = \iiint_{V_\varepsilon} 3 \, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi \varepsilon^3 = 4\pi \varepsilon^3$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：注意散度计算：$\frac{\partial}{\partial x}(x-1)=1$，类似得和为3。
步骤 6/6
目标：得到原积分结果
将上一步结果代入：
$$\iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon^3} \cdot 4\pi \varepsilon^3 = 4\pi$$
因此原积分 $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi$。此结果与 $\varepsilon$ 无关，且适用于所有三个曲面，因为奇点均在内部且曲面外侧。
提示：最终结果 $4\pi$ 是常数，与曲面形状无关，只要奇点在内部且曲面光滑封闭。
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