下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第46题
📝 题目
46．求下列第二型曲面积分，其中 $f(u)$ 连续可导．
（1）$\displaystyle \oiint_{S} \frac{2}{y} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(u)$ 连续可导，$S$ 是 $z=x^{2}+y^{2}$ ， $z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为下半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z<0)$ 的内侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{3}+x f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+y f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-2 z f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；其中 $S$ 为锥面 $x \geqslant \sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 和球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围立体的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{y+2} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{x+1} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right)+3 x^{2} y-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为 $z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}(1 \leqslant z \leqslant 2)$ 的外侧．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.189 所示，记 $\Omega$ 是 $S$ 所围的空间区域．记 $\displaystyle P=\frac{2}{y} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right), Q=\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right), R=z$ ，则
$$
P_{x}=\frac{2}{y^{3}} f^{\prime}\left(\frac{x}{y^{2}}\right), Q_{y}=-\frac{2}{y^{3}} f^{\prime}\left(\frac{x}{y^{2}}\right), R_{z}=1 .
$$
由高斯公式得：
$$
\oiint_{S} \frac{2}{y} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} r \mathrm{~d} r \int_{r^{2}}^{8-r^{2}} \mathrm{~d} z=16 \pi .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-373.jpg?height=1161&width=872&top_left_y=1312&top_left_x=1270}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.189}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-373.jpg?height=885&width=1133&top_left_y=1588&top_left_x=3488}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.190}
\end{figure}
（2）如图 9.190 所示，补平面区域 $S_{1}: z=0\left(D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right)$ 的下侧，使 $S+S_{1}$ 为一闭曲面的内侧，它围成的区域记作 $\Omega$ ，则
$$
\begin{aligned}
& \oiint_{S+S_{1}} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =-\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1} r^{2} r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r=-\left.2 \pi(-\cos \varphi)\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} \frac{1}{5}=-\frac{2}{5} \pi
\end{aligned}
$$
又
$$
\iint_{S_{1}} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \xlongequal{s_{1} z=0} 0
$$
所以
$$
\iint_{S} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\frac{2}{5} \pi
$$
（3）如图 9.191 所示，记 $\Omega$ 是 $S$ 所围的空间区域．由 Gauss 公式得
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{S}\left(x^{2}+x^{3}+x f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+y f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-2 z f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}\left(2 x+3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=2 \iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+3 \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =2 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \varphi \int_{1}^{2} r \cos \varphi r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r+3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \varphi \int_{1}^{2} r^{4} \sin \varphi \mathrm{~d} r \\
& =\frac{15}{4} \pi+3 \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \varphi \int_{1}^{2} r^{4} \sin \varphi \mathrm{~d} r=\frac{15}{4} \pi+\frac{93}{5}(2-\sqrt{2}) \pi .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-373.jpg?height=1168&width=1389&top_left_y=6976&top_left_x=1105}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.191}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-373.jpg?height=1362&width=1169&top_left_y=6768&top_left_x=3646}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.192}
\end{figure}
（4）如图9．192所示，补面 $S^{\prime}: z=2, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，向上为正。记 $\Omega$ 是 $S+S^{\prime}$ 所围的空间区域．由 Gauss 公式得
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S+S^{\prime}} \frac{1}{y+2} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{x+1} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right)+3 x^{2} y-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =3 \iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r \int_{1+r^{2}}^{2} \mathrm{~d} z=3 \pi \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r \int_{1+r^{2}}^{2} \mathrm{~d} z=\frac{1}{4} \pi
\end{aligned}
$$
又
$$
\iint_{S^{\prime}}\left(2-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(2-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \pi-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{3}{2} \pi
$$
于是
$$
\iint_{S} \frac{1}{y+2} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{x+1} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right)+3 x^{2} y-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\frac{5}{4} \pi
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别积分类型与曲面方向
题目要求计算第二型曲面积分。曲面 $S$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=8-x^2-y^2$ 围成立体的外侧。注意到被积函数含有 $f(u)$，且 $P=\frac{2}{y}f\left(\frac{x}{y^2}\right)$，$Q=\frac{1}{x}f\left(\frac{x}{y^2}\right)$，$R=z$。由于 $f$ 连续可导，考虑使用高斯公式将曲面积分转化为三重积分。
公式：高斯公式：$\oiint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dx\,dy\,dz$
提示：注意曲面外侧对应高斯公式中的正号，内侧则需加负号。
步骤 2/5
目标：计算散度
计算 $P_x$、$Q_y$、$R_z$：
$P_x = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{2}{y}f\left(\frac{x}{y^2}\right)\right] = \frac{2}{y} \cdot f'\left(\frac{x}{y^2}\right) \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{2}{y^3}f'\left(\frac{x}{y^2}\right)$。
$Q_y = \frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{1}{x}f\left(\frac{x}{y^2}\right)\right] = \frac{1}{x} \cdot f'\left(\frac{x}{y^2}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{y^3}\right) = -\frac{2}{y^3}f'\left(\frac{x}{y^2}\right)$。
$R_z = \frac{\partial}{\partial z}(z)=1$。
因此散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{2}{y^3}f' - \frac{2}{y^3}f' + 1 = 1$。
公式：散度公式
提示：注意 $f$ 是 $u=x/y^2$ 的函数，求导时要用链式法则。
步骤 3/5
目标：应用高斯公式转化为三重积分
由高斯公式，原曲面积分等于 $\iiint_\Omega 1\,dx\,dy\,dz$，其中 $\Omega$ 是 $S$ 所围的区域。$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=8-x^2-y^2$ 围成。两曲面交线为 $x^2+y^2=4$，$z=4$。因此 $\Omega$ 在 $xy$ 平面投影为圆盘 $x^2+y^2\leq 4$。
公式：三重积分体积公式
提示：确定积分区域时，先求两曲面的交线。
步骤 4/5
目标：计算三重积分
采用柱坐标：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，$dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\theta\,dz$。积分区域：$0\leq\theta\leq 2\pi$，$0\leq r\leq 2$，$r^2\leq z\leq 8-r^2$。
$\iiint_\Omega dx\,dy\,dz = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 r\,dr \int_{r^2}^{8-r^2} dz = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 r(8-2r^2)\,dr = 2\pi \int_0^2 (8r-2r^3)\,dr = 2\pi \left[4r^2 - \frac{1}{2}r^4\right]_0^2 = 2\pi (16-8)=16\pi$。
公式：柱坐标下的三重积分公式
提示：注意 $z$ 的上下限：下曲面 $z=r^2$，上曲面 $z=8-r^2$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此原曲面积分等于 $16\pi$。
提示：检查曲面方向是否为外侧，高斯公式直接使用。
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