下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第47题
📝 题目
47．证明公式 $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{r}=\frac{1}{2} \oiint_{S}(\cos r, n) \mathrm{d} s$ ，其中 $S$ 是包围 $V$ 的分片光滑闭曲面， $(0,0,0) \notin S, n$ 是 $S$ 的外法线方向．$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, r=(x, y, z)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\displaystyle \cos (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})=\frac{\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n} \| \boldsymbol{r}|}=\frac{1}{r}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma)$ 知
$$
\iint_{S} \cos (r, n) \mathrm{d} S=\iint_{S} \frac{1}{r}(x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y) .
$$
又 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right)=\frac{y^{2}+z^{2}}{r^{3}}, \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{r}\right)=\frac{x^{2}+z^{2}}{r^{3}}, \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{x}{r}\right)=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{3}}$ ．由高斯公式得
$$
\frac{1}{2} \iint_{S} \cos (r, n) \mathrm{d} S=\iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{r}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目并转化被积表达式
首先，我们需要将曲面积分中的 $\cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})$ 用坐标表示。由于 $\boldsymbol{r} = (x, y, z)$，$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，外法线方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦为 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，则 $\cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n}) = \frac{\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{r}| |\boldsymbol{n}|} = \frac{1}{r}(x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma)$。因此，曲面积分可化为：
$$\iint_S \cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n}) \, dS = \iint_S \frac{1}{r}(x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy)$$
公式：$\cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n}) = \frac{1}{r}(x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma)$
提示：注意 $dS$ 与投影面积元的关系：$\cos\alpha\,dS = dy\,dz$，$\cos\beta\,dS = dz\,dx$，$\cos\gamma\,dS = dx\,dy$。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
考虑向量场 $\boldsymbol{F} = \left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$，则曲面积分 $\iint_S \frac{1}{r}(x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy) = \iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS$。由高斯公式，
$$\iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{F} \, dV$$
公式：高斯公式：$\iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{F} \, dV$
提示：注意高斯公式要求 $V$ 内无奇点，而原点 $(0,0,0) \notin S$，但可能包含在 $V$ 内？题目条件 $(0,0,0) \notin S$ 但未说明是否在 $V$ 内。实际上，若原点在 $V$ 内，则 $\boldsymbol{F}$ 在原点奇异，不能直接应用高斯公式。但本题结果仍成立，需通过挖洞处理。此处假设原点不在 $V$ 内，或通过极限过程。
步骤 3/5
目标：计算散度 $\nabla \cdot \boldsymbol{F}$
计算 $\boldsymbol{F} = \left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$ 的散度：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right) = \frac{r - x \cdot \frac{x}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3} = \frac{y^2+z^2}{r^3}$$
同理，$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right) = \frac{x^2+z^2}{r^3}$，$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right) = \frac{x^2+y^2}{r^3}$。
因此，
$$\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{y^2+z^2}{r^3} + \frac{x^2+z^2}{r^3} + \frac{x^2+y^2}{r^3} = \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{r^3} = \frac{2r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$$
公式：$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right) = \frac{y^2+z^2}{r^3}$
提示：注意求导时 $r$ 是 $x,y,z$ 的函数，需使用商的求导法则。
步骤 4/5
目标：代入高斯公式得到三重积分
将散度代入高斯公式：
$$\iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = \iiint_V \frac{2}{r} \, dV = 2 \iiint_V \frac{1}{r} \, dV$$
因此，
$$\frac{1}{2} \iint_S \cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n}) \, dS = \iiint_V \frac{1}{r} \, dV$$
这正是要证明的等式。
公式：$\iiint_V \frac{2}{r} \, dV = 2 \iiint_V \frac{1}{r} \, dV$
提示：注意等式左边有系数 $\frac{1}{2}$，这是由散度计算得到的 $2$ 抵消后得到。
步骤 5/5
目标：考虑原点在区域内部的情况（补充说明）
若原点 $(0,0,0)$ 位于 $V$ 内部，则 $\boldsymbol{F}$ 在原点奇异，不能直接应用高斯公式。此时需在原点附近挖去一个小球体 $B_\varepsilon$（半径为 $\varepsilon$），在区域 $V \setminus B_\varepsilon$ 上应用高斯公式，然后令 $\varepsilon \to 0$。可以证明，小球面上的积分趋于 $0$，因此结果仍然成立。具体地，在小球面 $S_\varepsilon$ 上，$\boldsymbol{n}$ 指向球心（内法线），$\cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n}) = -1$，面积元 $dS = \varepsilon^2 \sin\theta \, d\theta\, d\phi$，积分值为 $-4\pi\varepsilon$，乘以 $\frac{1}{2}$ 后趋于 $0$。
提示：此步骤为细节补充，考试中若未明确原点位置，可默认原点不在 $V$ 内或说明挖洞处理。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。