下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第49题
📝 题目
49．求曲面积分．
（1） $\iint_{S} r \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, n=n(x, y, z)$ 为 $S$ 上点 $P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=(x, y, z), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \cos (r, n)=\frac{1}{r}[x \cos (x, n)+y \cos (y, n)+z \cos (z, n)]($ 湖南师大 2007）
（2）求第二型曲面积分 $\iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} s$ ，其中 $S$ 为光滑闭曲面，其体积为 $V$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由高斯公式得：
（1） $\iint_{S} r \cos (r, n) \mathrm{d} S=\iint_{S}[x \cos (x, n)+y \cos (y, n)+z \cos (z, n)] \mathrm{d} S=\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y =3 \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \pi a b c$ ，其中 $\Omega$ 是以 $S$ 为边界的区域．
（2） $\iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} s=\iiint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=3 V$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目并转化被积表达式
题目（1）中，被积函数为 $r \cos (r, n)$，其中 $\cos (r, n) = \frac{1}{r}[x \cos (x, n) + y \cos (y, n) + z \cos (z, n)]$。因此，$r \cos (r, n) = x \cos (x, n) + y \cos (y, n) + z \cos (z, n)$。于是曲面积分化为 $\iint_S [x \cos (x, n) + y \cos (y, n) + z \cos (z, n)] dS$。
公式：$\cos (r, n) = \frac{1}{r}[x \cos (x, n) + y \cos (y, n) + z \cos (z, n)]$
提示：注意 $\cos (r, n)$ 的定义，$r$ 是向量模长，不要遗漏分母 $r$。
步骤 2/8
目标：将第一型曲面积分转化为第二型曲面积分
注意到 $\cos (x, n) dS = dy dz$，$\cos (y, n) dS = dz dx$，$\cos (z, n) dS = dx dy$。因此，原积分化为第二型曲面积分：$\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy$。
公式：$\cos (x, n) dS = dy dz$，$\cos (y, n) dS = dz dx$，$\cos (z, n) dS = dx dy$
提示：注意方向：外法向量对应正方向，这里 $S$ 是封闭曲面，外法向为正。
步骤 3/8
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$。这里 $P=x, Q=y, R=z$，则 $\frac{\partial P}{\partial x}=1, \frac{\partial Q}{\partial y}=1, \frac{\partial R}{\partial z}=1$。因此，$\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_\Omega (1+1+1) dV = 3 \iiint_\Omega dV$，其中 $\Omega$ 是椭球内部区域。
公式：高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向向外，这里满足条件。注意偏导数的计算。
步骤 4/8
目标：计算椭球体积
椭球 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的体积为 $V_\Omega = \frac{4}{3} \pi a b c$。因此，$3 \iiint_\Omega dV = 3 \cdot \frac{4}{3} \pi a b c = 4 \pi a b c$。
公式：椭球体积公式：$V = \frac{4}{3} \pi a b c$
提示：注意椭球体积公式，不要与球体积混淆。
步骤 5/8
目标：得出第一问结果
因此，原曲面积分 $\iint_S r \cos (r, n) dS = 4 \pi a b c$。
提示：最终结果简洁，注意单位。
步骤 6/8
目标：处理第二问
第二问中，被积函数为 $x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma$，其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是外法向的方向余弦。因此，$\cos \alpha dS = dy dz$，$\cos \beta dS = dz dx$，$\cos \gamma dS = dx dy$。于是积分化为 $\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy$。
公式：$\cos \alpha dS = dy dz$，$\cos \beta dS = dz dx$，$\cos \gamma dS = dx dy$
提示：注意方向余弦与坐标面投影的关系。
步骤 7/8
目标：应用高斯公式并计算第二问
与第一问类似，应用高斯公式得 $\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_\Omega 3 dV = 3V$，其中 $V$ 是闭曲面 $S$ 所围体积。
公式：高斯公式
提示：注意 $V$ 是已知量，无需具体计算。
步骤 8/8
目标：总结答案
（1）$\iint_S r \cos (r, n) dS = 4 \pi a b c$；（2）$\iint_S (x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma) ds = 3V$。
提示：两个结果形式相似，注意区分。
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