下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第50题
📝 题目
50．设 $V$ 是不含原点的有界闭区域，其体积为 $V$ ，其边界 $S$ 为光滑的简单闭曲面，$n$ 为 $S$ 的外向单位法向量，$r=(x, y, z), f(t)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的连续可微函数，满足 $t f^{\prime}(t)+2 f(t)-t=0$ ，求 $\iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ．
💡 答案解析
解题过程：
$$
\begin{aligned}
& \iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (r, n) \mathrm{d} S \\
& =\iint_{S} f(r) \frac{1}{r}[x \cos (x, n)+y \cos (y, n)+z \cos (z, n)] \mathrm{d} S=\iint_{S} \frac{1}{r} f(r)[x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}\left[\frac{3}{r} f(r)+\frac{1}{r^{3}}\left(r f^{\prime}(r)-f(r)\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}\left(\frac{3}{r} f(r)+\frac{1}{r}\left(r f^{\prime}(r)-f(r)\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega}\left(\frac{2}{r} f(r)+f^{\prime}(r)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=V .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：转化被积表达式
首先，注意到 $\cos(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 是向量 $\mathbf{r}$ 与单位法向量 $\mathbf{n}$ 夹角的余弦。由方向余弦的定义，有 $\cos(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{r}|} = \frac{x \cos(x,n) + y \cos(y,n) + z \cos(z,n)}{r}$，其中 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。因此，原积分化为：
$$\iint_S f(r) \frac{1}{r} [x \cos(x,n) + y \cos(y,n) + z \cos(z,n)] \, dS.$$
公式：$\cos(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{r}|}$
提示：注意方向余弦的定义，$\cos(x,n)$ 表示 $x$ 轴与法向量的夹角余弦。
步骤 2/6
目标：转换为第二类曲面积分
利用第二类曲面积分与第一类曲面积分的关系：$\cos(x,n) dS = dy dz$，$\cos(y,n) dS = dz dx$，$\cos(z,n) dS = dx dy$。因此，积分变为：
$$\iint_S \frac{1}{r} f(r) [x \, dy dz + y \, dz dx + z \, dx dy].$$
公式：$\cos(x,n) dS = dy dz$，$\cos(y,n) dS = dz dx$，$\cos(z,n) dS = dx dy$
提示：注意符号：这里法向量是外向的，因此方向余弦与坐标面微元的关系如上。
步骤 3/6
目标：应用高斯散度定理
令向量场 $\mathbf{F} = \frac{1}{r} f(r) (x, y, z)$，则第二类曲面积分等于 $\mathbf{F}$ 通过曲面 $S$ 的通量。由高斯散度定理，
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV,$$
其中 $\Omega$ 是 $S$ 所围成的区域（不含原点）。因此，我们需要计算散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$。
公式：高斯散度定理：$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：由于区域不含原点，$\mathbf{F}$ 在 $\Omega$ 内光滑，可以应用高斯定理。
步骤 4/6
目标：计算散度
计算 $\nabla \cdot \mathbf{F}$。设 $\mathbf{F} = (P, Q, R) = \left( \frac{x}{r} f(r), \frac{y}{r} f(r), \frac{z}{r} f(r) \right)$。注意 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$。计算 $P$ 对 $x$ 的偏导：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{r} f(r) \right) = \frac{f(r)}{r} + x f(r) \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{x}{r} f'(r) \frac{\partial r}{\partial x}.$$
由于 $\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{x}{r^3}$，$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$，代入得：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{f(r)}{r} - \frac{x^2}{r^3} f(r) + \frac{x^2}{r^2} f'(r).$$
类似地，
$$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{f(r)}{r} - \frac{y^2}{r^3} f(r) + \frac{y^2}{r^2} f'(r), \quad \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{f(r)}{r} - \frac{z^2}{r^3} f(r) + \frac{z^2}{r^2} f'(r).$$
求和得：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{3f(r)}{r} - \frac{x^2+y^2+z^2}{r^3} f(r) + \frac{x^2+y^2+z^2}{r^2} f'(r) = \frac{3f(r)}{r} - \frac{f(r)}{r} + f'(r) = \frac{2f(r)}{r} + f'(r).$$
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{2f(r)}{r} + f'(r)$
提示：注意求导时链式法则的应用，以及 $x^2+y^2+z^2 = r^2$ 的简化。
步骤 5/6
目标：利用已知微分方程简化
题目给出 $f(t)$ 满足 $t f'(t) + 2 f(t) - t = 0$，即 $t f'(t) + 2 f(t) = t$。令 $t = r$，则 $r f'(r) + 2 f(r) = r$。两边除以 $r$ 得 $f'(r) + \frac{2}{r} f(r) = 1$。注意我们得到的散度是 $\frac{2f(r)}{r} + f'(r)$，这正是 $f'(r) + \frac{2}{r} f(r)$，因此由方程知 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1$。
公式：$t f'(t) + 2 f(t) = t$
提示：注意将微分方程转化为散度形式。
步骤 6/6
目标：计算三重积分
由高斯定理，原曲面积分等于 $\iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iiint_\Omega 1 \, dV = \iiint_\Omega dV$，即区域 $\Omega$ 的体积。由于 $\Omega$ 的体积记为 $V$，因此积分值为 $V$。
公式：$\iiint_\Omega dV = V$
提示：注意题目中区域体积也用 $V$ 表示，不要与向量混淆。
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